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Wie merkt man sich am besten, welche Diagonale positiv und welche negativ zählt? Man kann sich
z.B. den Spezialfall der Einheitsmatrix anschauen; die Determinante davon muss 1 sein, damit muss
a · d positiv eingehen.
Für n = 3 wird die Formel schon recht lang, deshalb sollte man sich direkt das Schaubild einprägen:
Es sieht erst einmal sehr ähnlich aus, aber es gibt einen wesentlichen Unterschied: Hier zählen
auch die Diagonalen, die über den Rand hinausgehen. Während man bei n = 2 nur 2 Diagonalen
betrachten musste, sind es bei n = 3 schon 6. Für n = 4 lohnt es sich schon nicht mehr, die Formel
explizit anzugeben; es kommen auch nicht mehr nur Diagonalen darin vor.
4.5.3 Aufteilung der Matrix
Für Determinanten von Matrizen gilt (wie an vielen anderen Stellen), dass man eine Matrix aufteilen
kann in einzelne Teilmatrizen, um dann mit den Determinanten der einzelnen Matrizen die Determinante
der großen Matrizen auszurechnen. Leider ist aber der Matrizenring nicht kommutativ, so dass
man sich überlegen muss, welche der Formeln noch gelten, wenn die Elemente von Matrizen selbst
wieder Matrizen sind. Ein Variante funktioniert immer:
Teilt man die Matrix so in Blöcke auf, dass die Diagonale nur quadratische Blöcke enthält und alle
Blöcke unter- oder oberhalb der Diagonalen 0 sind, dann ist die Determinante der Matrix das Produkt
der Determinanten der Blöcke auf der Diagonalen:
⎛
A ∗
⎞
∗
⎛
A 0
⎞
0
det ⎝0
B ∗ ⎠ = det ⎝∗
B 0 ⎠ = (det A · det B · det C)
0 0 C ∗ ∗ C
(wobei A, B und C quadratische Matrizen sind)
Beispiel:
⎛
1
⎜
⎜2
det ⎜
⎜0
⎝0
2
3
0
0
3
4
2
1
4
5
3
2
⎞
5
6 ⎟
4 ⎟ = det
3⎠
0 0 0 0 5
4.5.4 Laplace-Entwicklung
1 2
· det
2 3
2 3
· det
1 2
5 = (1 · 3 − 2 · 2) · (2 · 2 − 3 · 1) · 5 = −5
Mit der Laplace-Entwicklung kann man eine Matrix schrittweise verkleinern, bis man die Determinante
leicht ausrechnen kann. Man sucht sich eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen (im obigen
Beispiel z.B. die letzte Zeile). Dann streicht man die Zeile bzw. Spalte, und außerdem nacheinander
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