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2. Addiert man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen, ändert sich die Determinante
nicht:
⎛
a b
⎞
c
⎛
a b c
⎞
det ⎝a
d e⎠
= det ⎝0
d − b e − c⎠
a f g 0 f − b e − c
3. Multipliziert man eine Zeile oder Spalte mit einem Faktor k, vervielfacht sich die Determinante
um k. Multipliziert man die ganze Matrix mit k, vervielfacht sich die Determinante also
um kn :
⎛
a ab
⎞
ac
⎛
1 b
⎞
c
det ⎝1
d e ⎠ = a · det ⎝1
d e⎠
1 f g
1 f g
(Vorsicht: Hier ist k = 1.
Da der Wert der Determinante durch a geteilt wird, muss man mit a
a
multiplizieren, um den ursprünglichen Wert wiederzubekommen.)
4. Vertauscht man zwei Zeilen oder Spalten, ändert sich das Vorzeichen der Determinante:
⎛
a ∗
⎞
∗
⎛
a ∗
⎞
∗
det ⎝0
0 c⎠
= − det ⎝0
b ∗⎠
0 b ∗
0 0 c
Da in einem Körper die Schritte des Gaußalgorithmus offenbar den Wert der Determinante nur um
einen Faktor k = 0 verändern und das Ergebnis des Gaußalgorithmus immer eine Dreiecksmatrix ist,
ist die Determinante ein Kriterium dafür, ob die Matrix invertierbar ist. Ist dies nämlich der Fall, dann
stehen hinterher auf der Diagonalen nur Einsen, und damit ist die Determinante von 0 verschieden.
Ist es nicht der Fall, dann steht auf der Diagonalen mindestens eine Null, so dass die Determinante
gleich 0 ist. Die Determinante ist also immer dann 0, wenn der Rang der Matrix kleiner als n ist;
z.B. schon dann, wenn die Matrix eine Nullzeile oder -spalte enthält.
Besteht eine Matrix nur aus Zahlen, kann man mit diesen Regeln immer recht schnell die Determinante
berechnen. Problematischer wird es, wenn Variablen oder Polynome in der Matrix stehen;
dann sollte man unbedingt auch die folgenden Verfahren anwenden können:
4.5.2 Formeln
Für n ≤ 3 existieren einfache Formeln, die man sich merken muss. Die Definition der Determinante
ergibt sofort, dass die Determinante für n = 0 immer 1 ist, und dass für n = 1 gilt:
Für n = 2 hat man:
det
det a = a
a b
= a · d − b · c
c d
D.h. die Diagonale von links oben nach rechts unten geht positiv in die Determinante ein, die andere
negativ:
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