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nach K. Dazu muss man Φ nur mit einer linearen Abbildung von W nach K verketten; dann erhält
man eine lineare Abbildung von V nach K. Aber eine lineare Abbildung von W nach K ist ein
Element aus W ∗ , und eine lineare Abbildung von V nach K ist eine Element aus V ∗ . Damit erhält
man eine Abbildung:
Φ ∗ : W ∗ → V ∗ , y ↦→ y ◦ Φ
Diese Abbildung ist selbst linear, man nennt sie die „duale Abbildung” zu Φ. Man beachte, dass sie
in der umgekehrten Richtung definiert ist. Aber: Auch wenn im endlichdimensionalen Fall V zu V ∗
und W zu W ∗ isomorph ist, liefert das keine lineare Abbildung von W nach V , die allein durch Φ
definiert ist. Denn die Isomorphismen sind immer abhängig von willkürlich gewählten Basen von V
und W .
Im diesem Fall kann man jedoch für V und W Basen B und C festlegen und Φ mit Hilfe von DCB(Φ)
angeben. Wie sieht die Abbildungsmatrix von Φ ∗ bezüglich C ∗ und B ∗ aus? Es ist DB ∗ C ∗(Φ∗ ) =
(DCB(Φ)) T , weswegen man Φ ∗ auch als „transponierte Abbildung” Φ T bezeichnet.
Da Quelle und Ziel von Φ ∗ gegenüber Φ gerade vertauscht sind, ist es wahrscheinlich nicht verwunderlich,
dass sich auch die Richtung der Verkettung umdreht, d.h. (Φ ◦ Ψ) ∗ = Ψ ∗ ◦ Φ ∗ . Außerdem
sind Kern und Bild vertauscht in dem Sinne, dass man Kern Φ ∗ aus Bild Φ berechnen kann und
umgekehrt:
Kern Φ ∗ = {y ∈ W ∗ : Φ ∗ (y) = y ◦ Φ = 0} =
= {y ∈ W ∗ : y(Φ(x)) = 0 ∀x ∈ V } =
= {y ∈ W ∗ : y(z) = 0 ∀z ∈ Bild Φ} =
= {y ∈ W ∗ : y(Bild Φ) = {0}}
Bild Φ ∗ = {z ∈ V ∗ : ∃y ∈ W ∗ : z = Φ ∗ (y) = y ◦ Φ} =
= {z ∈ V ∗ : ∃y ∈ W ∗ : z(x) = y(Φ(x)) ∀x ∈ V } =
= {z ∈ V ∗ : z(Kern Φ) = {0}} (Homomorphiesatz, siehe Beispiel in 3.1.4)
Kern Φ = {x ∈ V : Φ(x) = 0} =
= {x ∈ V : y(Φ(x)) = (Φ ∗ (y))(x) = 0 ∀y ∈ W ∗ } =
= {x ∈ V : z(x) = 0 ∀z ∈ Bild Φ ∗ }
Bild Φ = {z ∈ W : ∃x ∈ V : z = Φ(x)} =
= {z ∈ W : ∃x ∈ V : y(z) = y(Φ(x)) = (Φ ∗ (y))(x) ∀y ∈ W ∗ } =
= {z ∈ W : y(z) = 0 ∀y ∈ Kern Φ ∗ }
Insbesondere ist Φ ∗ genau dann injektiv, wenn Φ surjektiv ist, und umgekehrt.
Außerdem gilt für eine weitere lineare Abbildung Ψ : W → X genau dann Kern Ψ = Bild Φ, wenn
Kern Φ ∗ = Bild Ψ ∗ ist:
Kern Ψ = Bild Φ ⇒ Kern Φ ∗ = {y ∈ W ∗ : y(Bild Φ) = y(Kern Ψ) = {0}} = Bild Ψ ∗
Kern Φ ∗ = Bild Ψ ∗ ⇒ Kern Ψ = {z ∈ W : y(z) = 0 ∀y ∈ Bild Ψ ∗ = Kern Φ ∗ } = Bild Φ
Ein kleiner Anwendungsfall ist die Darstellung eines gegebenen Untervektorraums U von V (endlichdimensional)
als Lösungsmenge eines homogenen LGS, also als Kern einer linearen Abbildung
Φ : V → W , wobei W ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem selben Grundkörper ist.
Sei B eine geordnete Basis von U, dann hat die Abbildung Ψ : K dim U → V, x ↦→ B · x als Bild
gerade U. Kern Ψ ∗ = {y ∈ V ∗ : y(Bild Ψ) = y(U) = {0}} (s.o.). Man bestimme eine geordnete
Basis C davon (die Abbildungsmatrix von Ψ ∗ bezüglich entsprechender Basen ist B T ) und erhält
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