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[m] = . . . , [1] = [m + 1] = . . . ist usw. Die Klassen sind aber Mengen, und zwar die Mengen aller
Elemente mit gleicher Klasse. Z.B. ist [0] = {. . . , −m, 0, m, 2 · m, . . . } = {m · z : z ∈ Z} =: m · Z.
Oder [1] = {. . . , −m + 1, 1, m + 1, 2 · m + 1, . . . } = {1 + m · z : z ∈ Z} =: 1 + m · Z. Allgemein
ist [x] = {x + m · z : z ∈ Z} = x + m · Z. Das heißt: In der Klasse von x liegen x selbst und alle
Zahlen, die sich um ein Vielfaches von m davon unterscheiden. Zm, die Menge dieser Klassen, ist
also: Zm = {[x] : x ∈ Z} = {x + m · Z : x ∈ Z} =: Z/m·Z.
Genau so bildet man auch Faktorräume. Bei der Faktorisierung eines Vektorraums V nach einem
Untervektorraum U sind die entstehenden Klassen [x] = x + U = {x + u : u ∈ U} für x ∈ V . Es
ist also V/U = {x + U : x ∈ V }. Wie diese Mengen im R 3 aussehen, kann man sich anhand des
„Spaghetti- und Lasagne-Modells” klarmachen:
Es gibt im R 3 genau zwei nichttriviale Arten von Unterräumen, nämlich Geraden und Ebenen. Was
passiert also, wenn U eine Gerade ist (durch den Ursprung, sonst wäre es kein Vektorraum)? Dann
sind auch alle Menge x + U Geraden, allerdings nicht durch den Ursprung. Es sind alle Geraden,
die parallel zu U verlaufen, wie Spaghetti. Und die Faktormenge ist die Menge aller dieser Geraden,
also eine Menge von Spaghetti, in der jedes Element eine Spaghetti ist. Mit Ebenen verhält es sich
gleich; hier hat man es mit Lasagne statt Spaghetti zu tun.
Nur diese Mengen zu betrachten, wäre uninteressant. Faktorisierung enthält immer auch Verknüpfungen,
die man auf der Faktormenge definiert. Und zwar überträgt man die Verknüpfungen von den
Elementen auf die Klassen, z.B. [x] + [y] := [x + y]. Bei Gruppen ist dies nur unter einer speziellen
Voraussetzung möglich; bei Vektorräumen ist diese Voraussetzung immer erfüllt. Also bildet die
Faktormenge wieder einen Vektorraum.
Wieder ist das „Spaghetti-/Lasagne-Modell” gefragt: Jede Spaghetti bzw. jedes Lasagneblatt bildet
einen Vektor. Um Vektoren zu addieren und zu multiplizieren, könnte man z.B. ein Brett durch die
Spaghetti legen, oder vielleicht sollten es dann besser Nägel sein. Jetzt hat man eine Fläche, die
isomorph zu R 2 ist. Aber man kommt auch ohne das Brett aus, wenn man die Spaghetti aus einem
Blickwinkel betrachtet, aus dem sie zu Punkten werden.
Hier sieht man auch schon, wie sich die Dimensionen verhalten: Es ist dim V/U = dim V − dim U.
4.4 Dualräume
4.4.1 Definition
Ist V ein K-Vektorraum, dann ist der Dualraum V ∗ kurz gesagt die Menge der linearen Abbildungen
von V nach K, als Vektorraum über K. Diese nennt man auch „Linearformen”. Im Gegensatz zu
den anderen Objekten der Linearen Algebra gibt es dazu weder eine anschauliche Erklärung noch
einen Spezialfall, den man schon kennt. Also muss man sich beim Arbeiten damit immer wieder die
Definition ins Gedächtnis rufen und alles darauf zurückführen.
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