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Dass Kern und Bild sich gegenseitig sozusagen ergänzen, kann man sich noch ganz gut vorstellen.
Aber wie soll man sich merken, was auf der rechten Seite steht, dim V oder dim W ? Ganz einfach:
Es kann nicht W sein, denn den Vektorraum W kann man problemlos vergrößern, ohne dass sich
an Φ etwas ändern muss (d.h. sowohl Kern als auch Bild können gleich bleiben). Also muss V da
stehen.
Diese Dimensionsformel kann man an vielen Stellen anwenden, wo es um Dimensionen und lineare
Abbildungen geht. Zusammen mit dem nun folgenden Dimensionsformeln für Summen und Faktorräume
kann man damit viele Dimensionsaufgaben schnell lösen.
4.3 Summen und Faktorräume
4.3.1 Summen von Vektorräumen
Die Summe von zwei Vektorräumen ist das, was entsteht, wenn man Vektoren aus beiden Vektorräumen
addiert. Da die Addition kommutativ ist, ist dies das Erzeugnis der beiden Vektorräume,
genauer gesagt das Erzeugnis der Vereinigung.
Ähnlich wie beim Erzeugnis einzelner Vektoren kann man dabei betrachten, wie viel beim Bilden
der Summe überflüssig ist. Das heißt, dass einer der beiden Vektorräume kleiner sein könnte, und
es ergibt sich trotzdem das selbe Ergebnis. Es ist genau dann der Fall, wenn der Schnitt ein nichttrivialer
Vektorraum ist (also nicht nur aus dem Nullvektor besteht). Besteht der Schnitt nur aus dem
Nullvektor, könnte man sagen, dass die beiden Vektorräume nichts miteinander zu tun haben, genau
wie linear unabhängige Vektoren in gewisser Weise nichts miteinander zu tun haben. Man nennt
dann die Summe „direkt”.
Für die Dimension der Summe gilt also genau das, was man erwarten würde: Ist die Summe direkt,
dann haben wir zwei Vektorräume, die nichts miteinander zu tun haben, also addieren sich
die Dimensionen. Z.B. ist die Summe von zwei verschiedenen Geraden (1-dimensional) die Ebene
(2-dimensional), die diese Geraden enthält. Im allgemeinen Fall ist der Schnitt der beiden Vektorräume
ein Indikator dafür, wie viel überflüssig ist, also muss man die Dimension des Schnitts noch
subtrahieren.
Wenn zu jedem der beiden Vektorräume ein Erzeugendensystem gegeben ist, dann ist die Vereinigung
ein Erzeugendensystem der Summe. Sind beides disjunkte Basen, dann bildet die Vereinigung
also genau dann eine Basis, wenn die Summe direkt ist. Um die Direktheit festzustellen, kann man
also prüfen, ob die Basisvektoren der beiden Vektorräume insgesamt linear unabhängig sind.
4.3.2 Faktorräume
Um zu erklären, was bei der Faktorisierung von Vektorräumen passiert, möchte ich kurz einschieben,
wie die Faktorisierung bei Gruppen und Ringen funktioniert hat. Ich habe das in diesem Skript
nicht beschrieben, weil nur das Rechnen in den Restklassenringen Zm in der Vorlesung wirklich
von Bedeutung war. Deshalb werde ich anhand dieses Beispiels die allgemeine Faktorisierung von
Gruppen erläutern.
Zur Faktorisierung einer Menge gehören immer eine Klasseneinteilung (Partition) und eine Äquivalenzrelation,
die sich gegenseitig bedingen (siehe 2.4). Normalerweise wird die Äquivalenzrelation
angegeben, aber man kann auch erst die Klasseneinteilung vornehmen und sich dann eine möglichst
einfache Relation dazu überlegen. Im Falle Zm hat man die Klassen [x] mit x ∈ Z, wobei [0] =
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