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Vektorräume), zwischen denen ein Isomorphismus existiert, als „isomorph” bezeichnet. Offensichtlich
ist dies also eine wichtige Eigenschaft. Sie bedeutet, dass jedes Element der einen Gruppe eine
genaue Entsprechung in der anderen Gruppe besitzt. D.h. es handelt sich eigentlich um die gleichen
Gruppen, mit dem kleinen Unterschied, dass die Elemente andere Namen haben.
Z.B. sind die Gruppen G = ({a, b}, ◦) und H = ({c, d}, ⋆) mit den folgenden Verknüpfungstafeln
isomorph:
◦ a b
a a b
b b a
⋆ c d
c c d
d d c
H entsteht aus G durch Umbenennen der Elemente. Der (einzige) Isomorphismus von G nach H
bildet a auf c und b auf d ab.
Diese Eigenschaft, dass die beiden Gruppen/Ringe/Vektorräume gleich sind bis auf die Namen der
Elemente, könnte man auch als Definition für die Isomorphie benutzen. Aber was bedeutet das genau?
Es muss ja irgendeine Zuordnung zwischen den Elementen der beiden Gruppen geben, nennen
wir sie f. f muss bijektiv sein, denn die Umbenennung muss in beiden Richtungen funktionieren.
Und die Gruppen sind genau dann gleich, wenn alle Rechnungen das gleiche Ergebnis liefern,
denn die Gruppen sind durch die Gruppenverknüpfung bereits vollständig charakterisiert. Es muss
also z.B. egal sein, ob man zwei Elemente in der einen Gruppe verknüpft oder ob man sie erst
umbenennt, in der anderen Gruppe verknüpft, und dann die Umbenennung rückwärts durchführt.
Insgesamt bedeutet das, dass das folgende Diagramm kommutiert:
G ◦ → G
f ↕ /// ↕ f
H → ⋆ H
(Dass ein Diagramm kommutiert, bedeutet, dass man im Diagramm von einem Punkt zu einem
anderen einen beliebigen Weg wählen kann und immer das gleiche Ergebnis erhält.)
Jetzt kann man sich überlegen, wie man die Bedingung so abschwächen kann, dass f nicht mehr
bijektiv sein muss. Wenn f nicht mehr bijektiv ist, darf der Pfeil nur noch nach unten zeigen:
G ◦ → G
f ↓ /// ↓ f
H → ⋆ H
In diesem Diagramm gibt es aber überhaupt nur zwei Wege, die gleichen Anfangs- und Endpunkt
haben, nämlich die Hintereinanderausführung von ◦ und f sowie f und ⋆. Also ist die Bedingung
folgendermaßen: Bildet man für zwei Elemente x, y ∈ G den Wert x ◦ y und setzt ihn in f ein, d.h.
f(x ◦ y), dann muss das Ergebnis übereinstimmen, wenn man erst f(x) und f(y) bildet und dann
f(x) ⋆ f(y). Also f(x ◦ y) = f(x) ⋆ f(y) wie gehabt.
Bei Vektorräumen V und W haben wir jeweils zwei Verknüpfungen „+” und „·”, die neue Elemente
aus V bzw. W liefern. Ein entsprechendes Diagramm sieht also so aus:
V +,·
→ V
Φ ↓ /// ↓ Φ
W → +,· W
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