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(a) Ersetzt man einen Vektor aus M durch ein Vielfaches davon oder addiert man einen
Vektor zu einem anderen, dann ändert sich das Erzeugnis [M] nicht. Diese Operationen
reichen aus, um mit den Vektoren den Gaußalgorithmus durchzuführen. Da Vektoren
üblicherweise als Spalten geschrieben werden, muss man allerdings aufpassen, denn die
Operationen sind keine Zeilen-, sondern Spaltenoperationen.
(b) Schreibt man die Vektoren als Spalten in eine Matrix (wie man allgemeine Vektoren als
Spalten schreibt, wird später noch erklärt), dann kann man auf dieser Matrix den Gaußalgorithmus
mit Zeilenoperationen durchführen. In der Treppenform der Matrix schaut
man sich die Spalten an, bei denen eine neue Treppenstufe beginnt. Die Vektoren, die
vorher in diesen Spalten gestanden haben, sind linear unabhängig und erzeugen [M].
Diese Methode ist zwar nicht sofort ersichtlich, aber sie ist vorteilhaft, wenn man ohnehin
die Matrix in Treppenform braucht. Man muss aber aufpassen, dass man die Methoden
nicht miteinander vermischt.
2. Jetzt hat man eine Basis von [M]. Nach dem Basisergänzungssatz kann man sie zu einer Basis
des ganzen Vektorraums ergänzen, indem man genügend linear unabhängige Vektoren hinzufügt.
Aber wie findet man solche Vektoren? Das hängt davon ab, welches der beiden Verfahren
man gewählt hat:
(a) Hier ist es relativ einfach, denn die Vektoren, die man erhalten hat, bilden eine transponierte
Treppenmatrix. Sie kann durch Vektoren, die nur an einer Stelle eine 1 haben, zu
einer vollständigen Diagonalmatrix ergänzt werden.
(b) Bei der zweiten Methode kann man nicht direkt Vektoren finden, die die Menge zu einer
Basis ergänzen. Man muss statt dessen die Treppenmatrix zu einer Diagonalmatrix
machen und rückwärts verfolgen, wie sich die jeweiligen Spaltenvektoren dadurch ändern.
Allerdings muss man aufpassen, denn es kann sich auf den gesamten Spaltenvektor
auswirken.
Eigentlich ist es sogar gar nicht schwer, eine linear unabhängige Menge zu einer Basis zu ergänzen.
Denn an Vektoren, die mit der Menge linear unabhängig sind, mangelt es nie. Man sieht es schon im
R 2 : Hat man einen beliebigen Vektor, dann ist ein zweiter Vektor nur dann linear abhängig mit dem
ersten, wenn er ein Vielfaches von ihm ist, d.h. in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigt.
Für die meisten Vektoren ist dies natürlich nicht der Fall. Also kann man die Vektoren auch raten,
muss dann allerdings die lineare Unabhängigkeit noch nachweisen (z.B. mit einem LGS).
4.2 Lineare Abbildungen
4.2.1 Definition
Für Vektorräume führt man wie für Gruppen Abbildungen ein, die „strukturerhaltend” sind, und
nennt sie „Homomorphismen” oder hier auch „lineare Abbildungen” (siehe 3.1.3). Wenn sie die
Vektorraumstruktur erhalten sollen, dann müssen sie zumindest Gruppenhomomorphismen bezüglich
der Verknüpfung „+” des Vektorraums sein. Aber um sich genau zu merken, wie die Definition
eines Vektorraumhomomorphismus aussehen muss, sollte man sich überlegen, was Homomorphismen
im Allgemeinen sind. Wenn man weiß, was ein Homomorphismus eigentlich ist, dann ist die
genaue Definition Nebensache.
Dazu ist es am sinnvollsten, sich zunächst über den Spezialfall der Isomorphismen (der bijektiven
Homomorphismen) Gedanken zu machen. Es wurde bereits erwähnt, dass man zwei Gruppen (bzw.
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