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eine Ebene, denn die Punkte, die durch Addition zweier Ortsvektoren von Geraden erreicht werden
können, liegen gerade auf der einen Ebene, die beide Geraden enthält.
Insgesamt ist also [x1, x2, . . . , xn] = { n
ai · xi : a1, . . . , an ∈ K}. Eine solche Summe nennt man
i=1
eine „Linearkombination” der Vektoren x1 bis xn.
Über das Erzeugnis von Mengen kann man alle Untervektorräume eines Vektorraums angeben, denn
für einen Unterraum U eines Vektorraums V ist natürlich immer [U] = U. Das Interessante ist, dass
sie viele Unterräume durch einige wenige Vektoren erzeugen lassen.
4.1.4 Lineare (Un-)Abhängigkeit
Die Frage nach der linearen Abhängigkeit einer Menge M ist letztlich die Frage, ob es beim Bilden
des Erzeugnis [M] Vektoren in M gibt, die dafür keine Rolle spielen. Einige einfache Fälle sind:
• Einer der Vektoren aus M ist der Nullvektor. Da die Addition mit dem Nullvektor keine neuen
Vektoren erzeugt, ist M immer linear abhängig, falls 0 ∈ M ist.
• Zwei Vektoren sind Vielfache voneinander. Da die Vektoren beim Bilden des Erzeugnis mit
beliebigen Skalaren multipliziert werden können (und die zugrunde liegende Menge ein Körper
ist, also immer Inverse besitzt), erhält man immer noch das gleiche Erzeugnis, wenn man
einen der beiden Vektoren weglässt.
• Einer der Vektoren ist die Summe oder Differenz von zwei anderen Vektoren. Dann liegt dieser
Vektor bereits im Gruppenerzeugnis dieser beiden anderen. Wenn man ihn weglässt, ändert
sich das Erzeugnis ebenfalls nicht.
Allgemein ist M genau dann linear abhängig, wenn es einen Vektor x ∈ M gibt, der in [M \ {x}]
liegt, sich also mit den anderen Vektoren aus M erzeugen lässt. D.h. er lässt sich als Linearkombination
n
ai · xi mit Vektoren xi ∈ M, xi = x schreiben.
i=1
Daraus lässt sich ein etwas einfacheres Kriterium ableiten, damit man nicht jeden einzelnen Vektor
aus M überprüfen muss. Und zwar ist M genau dann linear abhängig, wenn man den Nullvektor
auf eine nichttriviale Art als Linearkombination schreiben kann, d.h. als Summe n
ai · xi mit xi ∈
M, so dass die ai nicht alle 0 sind. Denn lässt sich o.B.d.A. der Vektor x1 als Linearkombination
x1 = n
ai · xi darstellen, dann ist mit a1 := −1 die Gleichung n
ai · xi = 0 erfüllt. Ist umgekehrt
i=2
o.B.d.A. a1 = 0, dann ist die Gleichung n
ai · xi = 0 äquivalent zu x1 = −
i=1
i=1
i=1
nP
ai·xi
i=2
a1
Um dieses Kriterium möglichst einfach überprüfen zu können, sollte man sich noch einmal die
Abschnitte über Matrizen (3.2.4) und lineare Gleichungssysteme (3.3) anschauen. Dann sieht man
eventuell, dass man die Summe n
ai · xi als Produkt von zwei „Matrizen” schreiben kann:
n
i=1
i=1
ai · xi =
x1 x2 · · · xn ·
34
⎛
a1
⎜
⎜a2
⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
an
⎞
.