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• a · (b · x) = (a · b) · x (dies ist zweimal die Verknüpfung „·” des Vektorraums, einmal die des
Körpers)
• 1 · x = x
• 0 · x = 0 (das neutrale Element von (M, +))
• a · 0 = 0
• (−1) · x = −x (hierbei ist −x das Inverse zu x in (M, +))
Es stellt sich heraus, dass die ersten fünf Gesetze ausreichen und sich die anderen daraus ableiten
lassen. Es ist aber wichtig, sich die Bedeutung aller dieser Gesetze anhand des Spezialfalls der Pfeile
im Koordinatensystem klar zu machen.
Anhand der benutzten Verknüpfungen sieht man, dass zumindest die Einführung von Ringen wesentlich
für die Vektorraumtheorie war. Für grundlegende Untersuchungen über Vektorräume braucht
man sehr bald Eigenschaften von Körpern; deshalb werden Vektorräume grundsätzlich nur über
Körpern definiert. Dies ist immer noch eine sehr allgemeine Definition; es gibt viele verschiedene
Beispiele für Vektorräume, die nichts mit Pfeildiagrammen zu tun haben (außer dass beide eben
Vektorräume bilden).
Trotzdem ist es sinnvoll, sich zu fragen, wie einschränkend diese Definition bereits ist. Dazu kann
man z.B. betrachten, welche Unterräume es gibt (d.h. Teilmengen von M, die mit den darauf eingeschränkten
Verknüpfungen selbst einen Vektorraum bilden). Das Ergebnis ist, dass man in vielen
Fällen alle Unterräume kennt:
4.1.3 Erzeugnis, Linearkombinationen
Das Erzeugnis [M] einer Menge M von Vektoren ist analog zum Erzeugnis von Gruppenelementen
definiert (siehe 3.1.2): Man lässt die Elemente „arbeiten”, um einen vollständigen Vektorraum zu
bilden. Übrigens schreibt man für [{x1, x2, . . . , xn}] auch [x1, x2, . . . , xn].
Betrachten wir zunächst die Multiplikation. Laut Definition muss für jedes x ∈ M und a ∈ K das
Produkt a · x in dem Vektorraum liegen. Das Erzeugnis [M] muss also alle Vielfachen von Vektoren
aus M enthalten. Geometrisch ist z.B. das Erzeugnis eines Ortsvektors x = 0 eine Gerade durch den
Ursprung:
x
Für die Verknüpfung „+” gilt, dass [M] das Gruppenerzeugnis der so gewonnenen Vektoren enthalten
muss. Man bildet also erst alle Geraden durch den Ursprung und addiert dann jeweils die
Ortsvektoren von Punkten auf den Geraden. Z.B. ist das Erzeugnis von zwei verschiedenen Geraden
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[ x]