Skript la.pdf - next-internet.com

sie im Nullpunkt beginnen. Die Pfeilspitze liegt dann auf der Zahlengeraden bei der Zahl, die man
durch den Pfeil ausdrücken will.
Die übliche Darstellung von R 2 ist ein zweidimensionales Koordinatensystem. Darin sieht Addition
und Multiplikation entsprechend so aus:
2x
x
Betrachtet man einen Vektor als ein Tupel (x1, x2), dann funktionieren Addition und Multiplikation
komponentenweise. Es ist wahrscheinlich aus der Schule bekannt, dass man auch die Punkte im
Koordinatensystem als solche Tupel darstellt. Sie sind gerade die Pfeilspitzen, wenn man die Pfeile
im Ursprung ansetzt. Man nennt die Vektoren dann „Ortsvektoren”.
Mathematiker möchten aber gerne von solchen konkreten Anschauungsobjekten in eine abstrakte
Definition übergehen, die man auch für andere Zwecke gebrauchen kann. Dabei kann man erst einmal
nüchtern feststellen, dass wir es offensichtlich mit einer Addition von zwei Vektoren und einer
Multiplikation von einem Vektor mit einem so genannten „Skalar” zu tun haben. Dann sucht man
bestimmte Eigenschaften heraus, die für die Arbeit mit solchen Pfeil-Diagrammen wesentlich sind.
Z.B. soll auf jeden Fall die Multiplikation mit 1 den Vektor nicht verändern. Die Multiplikation mit
0 dagegen sollte ihn auf einen neutralen Vektor schrumpfen. Außerdem sollte die Multiplikation
ungefähr so funktionieren, wie man sich eine Multiplikation vorstellt, d.h. z.B. 2 · x = x + x. Dies
kann man allgemeiner in einem Distributivgesetz zusammenfassen. Insgesamt erhält man einige
Gesetze, wobei sie sich teilweise auseinander ableiten lassen:
4.1.2 Axiome
Ein Vektorraum ist eine Menge M mit zwei Verknüpfungen + : M ×M → M und · : K ×M → M,
wobei K ein Körper ist, so dass für alle x, y ∈ M und a, b ∈ K die folgenden Gesetze gelten:
• (M, +) ist eine abelsche Gruppe.
• a · (x + y) = a · x + a · y (dies ist die Verknüpfung „+” des Vektorraums)
y
x+y
• (a + b) · x = a · x + b · x (dies ist die Verknüpfung „+” des Körpers)
32