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Z.B. kann man dem reellen LGS
⎛
1
⎜
⎜2
⎝3
0
1
2
⎞
2
4 ⎟
6⎠
4 3 8
·
⎛
⎝
direkt ansehen, dass die Lösungsmenge die Form
⎛ ⎞
{ ⎝
v1
v2
v3
x1
x2
x3
⎞
⎠ = 0
⎠ · r : r ∈ R}
hat. Denn zieht man die erste Spalte zweimal von der dritten ab, dann bekommt man dort eine
Nullspalte. Die zweite Spalte hat mit der einen 0 oben bereits die Form, die nach Anwendung des
Gaußalgorithmus (mit Spalten statt Zeilen) entsteht. Also ist der Rang 2, und 3 − 2 = 1 Variable ist
beliebig.
Hier hat das sogar direkt einen praktischen Nutzen. Denn man sieht, dass x1 = 2, x2 = 0, x3 = −1
eine Lösung ist. (Wenn nicht, dann bitte einfach mal diese Werte einsetzen und die Matrizenmultiplikation
durchführen.) Also gibt es nur eine Möglichkeit für die Lösungsmenge:
⎛ ⎞
2
{ ⎝ 0 ⎠ · r : r ∈ R}
−1
4 Vektorräume
4.1 Einführung
4.1.1 Ursprung
Der abstrakte Begriff des Vektorraums orientiert sich stark an den Vektoren, die man in ein reelles
Koordinatensystem einzeichnen kann. Ein Vektor ist dabei ein Pfeil, den man beliebig verschieben
kann. Die Addition von zwei Vektoren ist dadurch erklärt, dass man die Pfeile aneinander hängt;
damit bekommt man einen neuen Vektor. Die Multiplikation mit einer reellen Zahl ändert die Länge
des Pfeils.
Bekanntermaßen lässt sich R 1 = R durch eine Zahlengerade darstellen. Die Addition und Multiplikation
von Vektoren entspricht dann genau der von reellen Zahlen:
x
2x
x+y
Wichtig bei der Betrachtung einer solchen Darstellung ist, dass zwei Vektoren gleich sind, wenn die
Pfeile gleiche Länge und Richtung haben. Es ist unerheblich, wo man den Pfeil einzeichnet. Möchte
man die wirklichen reellen Zahlen als Vektoren betrachten, dann zeichnet man die Pfeile so ein, dass
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y