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3.3.3 Weiterführende Theorien
Muss man das LGS A · x = b für ein A und verschiedene b lösen, dann hilft ein Satz, der besagt,
dass man die allgemeine Lösung für A · x = b (d.h. die Lösungsmenge) erhält, indem man zuerst die
allgemeine Lösung für A · x = 0 bestimmt und eine spezielle Lösung für A · x = b addiert. Selbst
wenn nur ein b im Spiel ist, kann dies einfacher sein, wenn man schon eine spezielle Lösung kennt.
In obigem Beispiel ist also
⎛ ⎞
−1
{ ⎝ 2 ⎠ · r : r ∈ R}
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die Lösungsmenge von A · x = 0, und ⎛ ⎞
0
⎝3⎠
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eine spezielle Lösung von A · x = b. Addition ergibt das bekannte Ergebnis.
Der vorgestellte Algorithmus (der Gaußalgorithmus) manipuliert offenbar die Matrizen A und b,
ändert aber an der Lösungsmenge für A · x = b nichts. Es liegt also nahe, dass sich alle erlaubten
Operationen durch die Multiplikation mit invertierbaren Matrizen Ci ausdrücken lassen, denn Ci ·A·
x = Ci · b ist eine dazu äquivalente Gleichung. In der Tat kann man diese Matrizen konkret angeben.
Dies liefert ein Verfahren, um für eine quadratische Matrix A ∈ K n×n die Inverse zu bestimmen,
falls es sie gibt:
Ist nämlich A invertierbar, dann hat das LGS A·x = 0 nur die triviale Lösung x = 0, denn man kann
die Gleichung von links mit A −1 multiplizieren. Das heißt für die Matrix C · A, die nach Anwenden
des Gaußalgorithmus entsteht, dass
⎛
1
⎜
⎜0
C · A = ⎜
⎝ .
0
1
. ..
· · ·
. ..
. ..
⎞
0
⎟
. ⎟
0⎠
0 · · · 0 1
= En
ist, also C = A −1 (nach Multiplikation der Gleichung von rechts mit A −1 ). Man muss also nur C
finden, um A −1 zu bestimmen. Dazu wendet man einfach die gleichen Operationen auf die Einheits-
matrix En an, und erhält damit die Matrix C · En = C = A−1 .
Konkret sieht das so aus, dass man
A|En betrachtet und entsprechend der Regeln umformt, so dass
man am Schluss auf der linken Seite die Einheitsmatrix bekommt. Dann ist die rechte Seite A−1 .
Vielleicht ist es aufgefallen, dass man die Form der Lösungsmenge schon sehen kann, wenn man
den Gaußalgorithmus fertig gerechnet hat. Und zwar ist die Anzahl der Variablen, die nicht beliebig
sind, gerade die Anzahl der Zeilen, die am Schluss übrig bleiben. (Diese Zahl nennt man den „Rang”
der Matrix.) Die Anzahl der Variablen, die beliebig sind, und damit die Form der Lösungsmenge,
ergibt sich daraus sofort.
Man kann sich leicht klar machen, dass der Rang von A gleich dem Rang von A T ist. D.h. um den
Rang zu bestimmen, darf man statt Zeilenumformungen auch Spaltenumformungen durchführen.
Dies liefert bei einigen Matrizen eine einfachere Aussage darüber, wie die Lösungsmenge aussieht.
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