Skript la.pdf - next-internet.com

Dies bringt man zunächst auf die Form:
2 1 0
·
−2 −4 2
⎛
⎝
x1
x2
x3
⎞
⎠ =
3
2
In der Matrix gibt es bereits eine 0, aber an der falschen Stelle. Am besten wäre es, wenn sie in der
ersten Spalte stehen würde, und dahinter eine 1. Also vertauscht man die erste und dritte Spalte, d.h.
x1 und x3:
0 1 2
·
2 −4 −2
⎛
⎝
x3
x2
x1
⎞
⎠ =
3
2
Nun kann man in der abgekürzten Schreibweise weitermachen:
0
2
1
−4
2
−2
3 2
2 0
−4
1
−2
2
2 1
3 0
−2
1
−1
2
1
3
1 0 3
7
0 1 2 3
Im letzten Schritt wurde die zweite Zeile zwei mal zur ersten addiert, um die 0 über der 1 zu bekommen.
Man kann x1 (jetzt die dritte Variable) beliebig wählen und bekommt dann x2 = 3 − 2 · x1 und
x3 = 7 − 3 · x1. Die Lösungsmenge L kann man also schreiben als:
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x1
0 1
L = { ⎝3
− 2 · x1⎠
: x1 ∈ R} = { ⎝3⎠
+ ⎝−2⎠
· x1 : x1 ∈ R}
7 − 3 · x1
7 −3
Um eine solche Darstellung der Lösungsmenge zu erhalten, kann man zum Schluss auch den so
genannten „−1-Trick” benutzen: Man macht durch Streichen und Einfügen von Nullzeilen die linke
Hälfte der Matrix zu einer quadratischen Matrix, bei der die erste 1 in jeder Zeile auf der Diagonalen
steht (außer bei den Nullzeilen natürlich). Dann schreibt man in den Nullzeilen −1 in die Diagonale.
Die Spalten, in denen dies geschieht, sind gerade die Matrizen, die in der Lösungsmenge mit einem
beliebigen Körperelement multipliziert werden, und rechts steht der absolute Term.
Einfügen der Nullzeile:
⎛
⎞
1 0 3 7
1 0 3 7
⎝0
1 2 3⎠
0 1 2 3
0 0 0 0
Ersetzen von 0 durch −1 auf der Diagonalen:
⎛
1 0 3
⎞
7
⎛
1 0
⎞
3
⎛ ⎞
7
⎝0
1 2 3⎠
⎝0
1 2 ⎠ , ⎝3⎠
0 0 0 0 0 0 −1 0
Jetzt müssen wir uns noch daran erinnern, dass wir die Variablen x1 und x3 vertauscht hatten, und
erhalten:
⎛ ⎞
0
⎛ ⎞
−1
L = { ⎝3⎠
+ ⎝ 2 ⎠ · r : r ∈ R}
7 3
29