Skript la.pdf - next-internet.com

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

3.3 Lineare Gleichungssysteme 3.3.1 Definition Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist eine Menge von Variablen (die Elemente eines Körpers K sind) und Gleichungen, die nur aus Summen dieser Variablen und Konstanten bestehen (wobei die Variablen noch mit Körperelementen, so genannten Koeffizienten, multipliziert werden dürfen). Diese Gleichungen sollen alle gleichzeitig erfüllt werden. Bringt man alle Konstanten auf die rechte Seite und alle Variablen auf die linke, und fügt man Nullen als Koeffizienten ein, so dass jede Variable in jeder Gleichung vorkommt, dann erhält man immer die folgende Form für ein LGS: a11 · x1 + a12 · x2 + · · · + a1l · xl = b1 a21 · x1 + a22 · x2 + · · · + a2l · xl = b2 ak1 · x1 + ak2 · x2 + · · · + akl · xl = bk Dabei sind xj die Variablen, aij die Koeffizienten, und bi die Konstanten. Schaut man sich noch einmal genau den Abschnitt über Matrizenmultiplikation an (3.2.4), dann fällt auf, dass ein solches LGS sehr viel mit Matrizen gemeinsam hat, besonders mit der Multiplikation einer Matrix mit einer Spaltenmatrix. In der Tat: Man kann leicht aus den k Gleichungen eine einzige Gleichung machen, indem man zwei Spaltenmatrizen gleichsetzt: ⎛ ⎞ a11 · x1 + a12 · x2 + · · · + a1l · xl ⎜ ⎜a21 · x1 + a22 · x2 + · · · + a2l · xl ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ = ⎛ ⎞ b1 ⎜ ⎜b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ ak1 · x1 + ak2 · x2 + · · · + akl · xl Jetzt ist aber die linke Seite gerade das Matrizenprodukt von ((aij)) ∈ K k×l mit ((xj)) ∈ K l×1 , bzw. ausgeschrieben: ⎛ ⎜ ⎝ . a11 a12 · · · a1l a21 a22 · · · a2l . ak1 ak2 · · · akl . . bk ⎞ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b1 x1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜b2 ⎟ ⎝ . ⎠ = ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ Man kann also jedes LGS als eine Matrizengleichung A · x = b schreiben, wobei A ∈ K k×l , x ∈ K l×1 und b ∈ K k×1 ist. 3.3.2 Lösungsmethoden Diese Schreibweise legt in einem Spezialfall eine Lösungsmethode nahe, die man nicht erwarten würde, wenn man nur die Gleichungen betrachtet. Und zwar gibt es ja invertierbare Matrizen, und falls A invertierbar ist dann ist die Gleichung A·x = b äquivalent zu x = A −1 ·b. Hat man A −1 einmal ausgerechnet, kann man damit schnell für verschiedene b eine Lösung für x bestimmen. Leider kann man A −1 im Normalfall nicht direkt aus A ablesen. Es gibt aber durchaus Fälle, in denen das geht. Ansonsten gibt es ja gewisse Umformungen, mit denen die Lösungsmenge eines LGS nicht verändert wird. Dazu zählen: 1. Umsortieren der Gleichungen 26 xl bk
2. Umsortieren der Variablen 3. Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstanten = 0 4. Addition einer Gleichung zu einer anderen Diese Umformungen lassen sich natürlich direkt auf die Matrizen übertragen: 1. Das Umsortieren von Gleichungen entspricht dem (gleichzeitigen) Umsortieren der Zeilen von A und b. 2. Da das Umsortieren von Variablen erlaubt ist, kann man in A also auch die Spalten umsortieren, wenn man die Zeilen von x mit sortiert. Also ist z.B. ⎛ ⎞ a11 a12 · · · ⎜ ⎜a21 a22 · · · ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ · ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b1 x1 ⎜ ⎜ ⎝x2 ⎟ ⎜b2 ⎟ ⎠ = ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ . äquivalent zu ⎛ . ak1 ak2 · · · a12 a11 · · · a22 a21 · · · ⎜ ⎝ . . ak2 ak1 · · · (Vertauschung der ersten beiden Spalten). bk ⎞ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b1 x2 ⎜ ⎜ ⎝x1 ⎟ ⎜b2 ⎟ ⎠ = ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ . 3. Man darf Zeilen von A und b gleichzeitig mit einer Konstanten multiplizieren, die nicht 0 ist (was leider oft vergessen wird, wenn die Konstante von einem Parameter abhängt). 4. Man darf eine Zeile von A und b zu einer anderen addieren. Dadurch, dass man sie vorher mit einer Konstanten multiplizieren darf, kann man sogar ein beliebiges Vielfaches der Zeile benutzen, d.h. man darf insbesondere auch subtrahieren statt addieren. Da fast alle dieser Umformungen den Term x in der Gleichung A · x = b fest lassen, bietet es sich an, beim Durchführen der Umformungen das LGS nur als A|b zu schreiben. Dann muss man nicht aufpassen, dass man die Umformungen gleichzeitig bei A und b machen muss. Mit diesen Umformungen kann man nun das LGS in eine Form bringen, bei der man alle Lösungen für x (d.h. die Lösungsmenge) direkt ablesen kann: • Unterhalb der Diagonalen stehen nur Nullen: ⎛ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎞ ∗ ⎛ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎞ ∗ ⎝∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎠ ⎝0 ∗ ∗ ∗ ∗⎠ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ ∗ • Es gibt keine Stufe, die höher als eine Zeile ist: ⎛ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎞ ∗ ⎛ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎞ ∗ ⎝0 0 ∗ ∗ ∗⎠ ⎝0 0 ∗ ∗ ∗⎠ 0 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 27 bk
Seite 1 und 2: Einleitung Praktische Hinweise für
Seite 3 und 4: 3.2 Ringe und Körper . . . . . . .
Seite 5 und 6: 1 Grundlagen 1.1 Schul- und Uni-Mat
Seite 7 und 8: Die gedankliche Übertragung auf un
Seite 9 und 10: Besondere Aufmerksamkeit verdienen
Seite 11 und 12: 1.3.9 Befreiung gebundener Variable
Seite 13 und 14: 1.3.13 Benutzen aller Voraussetzung
Seite 15 und 16: 1. Wer sagt denn bitte, dass es ein
Seite 17 und 18: Hier werden vielleicht auch die Beg
Seite 19 und 20: Ist die Menge endlich, dann kann ma
Seite 21 und 22: man ziemlich viele verschiedene Erg
Seite 23 und 24: die anderen Eigenschaften. Soll man
Seite 25 und 26: „Seien G, H1 und H2 Gruppen, f1 :
Seite 27 und 28: Es gibt den schönen Trick, die rec
Seite 29: p = a0 · X 0 + a1 · X 1 + a2 · X
Seite 33 und 34: Dies bringt man zunächst auf die F
Seite 35 und 36: Z.B. kann man dem reellen LGS ⎛ 1
Seite 37 und 38: • a · (b · x) = (a · b) · x (
Seite 39 und 40: Dabei darf man nicht vergessen, das
Seite 41 und 42: Vektorräume), zwischen denen ein I
Seite 43 und 44: 1 0 2 Linearkombination der Basisve
Seite 45 und 46: Dass Kern und Bild sich gegenseitig
Seite 47 und 48: 4.4.2 Duale Basis Ist V n-dimension
Seite 49 und 50: damit Φ∗ : W ∗ → V ∗ , z
Seite 51 und 52: Wie merkt man sich am besten, welch
Seite 53 und 54: z x y Um den Sinn von Eigenwerten b
Seite 55 und 56: Matrix A in das Polynom X − c ein
Seite 57 und 58: 1. Auf der Diagonalen von J stehen

Skript la.pdf - next-internet.com

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?