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p = a0 · X 0 + a1 · X 1 + a2 · X 2 + · · ·+ an · X n , in dem auch die Größe X abstrakt ist. Diese p bilden
einen kommutativen Ring R[X] mit 1. Ist an = 0, heißt n der „Grad” von p. Ist spezieller an = 1,
heißt p „normiert”.
Hintergrund dieser Abstraktion ist zum Einen, dass es im Allgemeinen keine Bijektion zwischen
Polynomfunktionen und Polynomen gibt (in R schon), und zum Anderen, dass man dann in Polynome
mit Koeffizienten in R nicht nur Elemente aus R, sondern z.B. auch Matrizen und bestimmte
Abbildungen über R einsetzen kann. Es gibt bestimmte Bedingungen, die dafür erfüllt sein müssen;
diese gelten aber z.B. für Matrizen über dem selben Ring automatisch.
Das klingt vielleicht ein bisschen kompliziert, aber man muss sich eigentlich nur merken, dass man
z.B. auch Matrizen in Polynome über dem Grundring einsetzen kann. Dabei muss man allerdings
aufpassen: Die Größe X 0 wird oft weggelassen, d.h. mit 1 identifiziert. Für jede quadratische Matrix
A ist A 0 die Einheitsmatrix, d.h. man muss den absoluten Term a0 noch mit der Einheitsmatrix
multiplizieren (wie erwartet).
Eine wichtige Eigenschaft des Polynomrings über einem Körper ist es, dass man eine Division mit
Rest durchführen kann. Auf diese Weise kann man für jede Nullstelle einen Faktor aus dem Polynom
abspalten. Die Polynomdivision wird häufig in der Schule behandelt und funktioniert im Prinzip
genauso wie die Division ganzer Zahlen, deshalb bringe ich hier nur ein kleines Beispiel:
Sei p := 2 · X 3 + X 2 + X + 1 ∈ R[X]. Dieses Polynom soll durch q := X 2 − X + 1 geteilt werden:
(2 · X 3 + X 2 + X + 1) / (X 2 − X + 1) = 2 · X + 3 + r/q
− (2 · X 3 − 2 · X 2 + 2 · X)
3 · X 2 − X + 1 mit r := 2 · X − 2
− (3 · X 2 − 3 · X + 3)
2 · X − 2
Es bleibt also ein Rest r. Wäre dieser gleich 0, dann könnte man den Faktor q komplett vom Polynom
abspalten. Übrigens gilt die Beziehung p = (X 2 − X + 1) · (2 · X + 3) + 2 · X − 2 allgemein für das
Polynom; d.h. auch dann, wenn für X eine Matrix mit Koeffizienten in R eingesetzt wird. Solche
Ergebnisse sind gerade der Inhalt der Theorie über formale Polynome.
Nach diesem Prinzip kann man auf Polynome über Körpern auch den euklidischen Algorithmus
anwenden und den ggT bestimmen. Der ggT ist (analog zu N) das größte Polynom, welches gleichzeitig
Teiler von zwei bestimmten Polynomen ist. Die Größe wird hierbei am Grad gemessen. Außerdem
ist es wichtig zu wissen, dass der ggT von zwei Polynomen nicht eindeutig bestimmt ist.
Man kann einen ggT immer mit einer Einheit, d.h. einem invertierbaren Element, multiplizieren.
Einheiten im Polynomring sind gerade die konstanten Polynome außer dem Nullpolynom, denn die
Multiplikation mit einem solchen Polynom lässt sich gerade rückgängig machen.
Beispiel: Es soll der (bzw. ein) ggT von p := X 4 + X 3 + X 2 + 2 · X + 3 und q := X 3 − X 2 + 2 aus
R[X] bestimmt werden. Offensichtlich ist p das größere Polynom, d.h. man muss zuerst p durch q
teilen (mit Polynomdivision). Man erhält p/q = (X +2)+(X 2 −1)/q, d.h. p = (X +2)·q+(X 2 −1).
Jetzt geht es weiter wie beim euklidischen Algorithmus für natürliche Zahlen:
X 4 + X 3 + X 2 + 2 · X + 3 = (X + 2) · (X 3 − X 2 + 2) + (X 2 − 1)
X 3 − X 2 + 2 = (X − 1) · (X 2 − 1) + (X + 1)
X 2 − 1 = (X − 1) · (X + 1)
Da im letztes Schritt die Division von X 2 − 1 durch X + 1 ohne Rest aufging, ist offenbar X + 1
ein Teiler sowohl von p als auch von q, und zwar ein ggT.
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