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sinnvolle Erweiterung von R.) Die Zm bilden genau dann einen Körper, wenn m eine Primzahl ist,
und werden dann häufig auch Fm genannt.
Das Inverse eines Elements 0 = a + i · b ∈ C ist übrigens:
1
a + i · b =
=
1 a − i · b
·
a + i · b a − i · b
a
a2 −b
+ i ·
+ b2 a2 + b2 a − i · b
=
a2 a − i · b
=
− (i · b) 2 a2 − i2 · b
2 =
a − i · b
a2 a − i · b
=
− (−1) · b2 a2 + b
Die Inversen in einem der Primkörper Fm (oder überhaupt in einem Zm) zu finden, ist nicht so
einfach. Natürlich ist [1] −1 = [1] und [m − 1] −1 = [−1] −1 = [−1] = [m − 1], d.h. [1] und [m − 1]
sind immer selbstinvers. Die anderen Inversen bekommt man entweder durch Probieren oder mit
dem euklidischen Algorithmus: Möchte man das Inverse der Klasse [z] bestimmen, berechnet man
den ggT von z und m mit dem euklidischen Algorithmus. Das Inverse existiert genau dann, wenn
dieser ggT 1 ist. Durch Rücksubstitution erhält man eine Darstellung von 1 als k · z + j · m. Dann
ist [z] −1 = [k].
Beispiel: Um das Inverse von [4] ∈ F11 zu bestimmen, führt man den euklidischen Algorithmus mit
4 und 11 durch:
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1 · 3 + 1
Damit hat man 1 = 4 − 1 · 3 = 4 − 1 · (11 − 2 · 4) = 3 · 4 + j · 11 ⇒ [4] −1 = [3].
3.2.3 Unterringe und Homomorphismen
Um nachzuweisen, dass eine Teilmenge Unterring oder -körper ist, muss man nur die vorkommenden
(Halb-)Gruppen betrachten. Denn die Distributivgesetze bleiben natürlich auch weiterhin erfüllt.
Bei Ringen mit 1, die keine Körper sind, darf man nicht vergessen nachzuweisen, dass die 1 in der
Teilmenge enthalten ist.
Ein Homomorphismus zwischen Ringen oder Körpern ist einfach eine Abbildung f : R → S, die
Homomorphismus bezüglich der entsprechenden (Halb-)Gruppen ist. Ein Homomorphismus von
Halbgruppen ist dabei genauso definiert wie ein Homomorphismus von Gruppen. Bei Ringen mit 1,
die keine Körper sind, muss man speziell noch nachweisen, dass f(1R) = 1S ist, denn bei Halbgruppenhomomorphismen
ist dies nicht selbstverständlich.
3.2.4 Matrizen
Matrizen sind gewissermaßen zweidimensionale Tupel über einem Ring R mit 1, für die neben der
komponentenweisen Addition noch eine spezielle Multiplikation eingeführt wird. Diese funktioniert
folgendermaßen:
Seien Matrizen A := ((aij)) ∈ R k×l , B := ((bij)) ∈ R l×m , C := ((cij)) := A · B ∈ R k×m gegeben.
Dann berechnet sich ein beliebiges cij wie folgt:
⎛
.
⎜
⎝ai1
.
ai2 · · ·
⎛
⎞ · · ·
. ⎜
⎟ ⎜·
· ·
ail⎠
· ⎜
⎝
b1j
b2j
.
⎞
· · ·
· · · ⎟
⎠
. . . · · · blj · · ·
=
⎛
⎜
⎝·
· ·
.
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . . + ail · blj
⎞
⎟
· · · ⎠
.
22
2 =