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„Seien G, H1 und H2 Gruppen, f1 : G → H1 und f2 : G → H2 Gruppenhomomorphismen mit
Kern f1 = Kern f2 =: K, und f1 surjektiv. Man finde einen Homomorphismus h : H1 → H2 mit
h ◦ f1 = f2.”
Die Aufgabe wäre ja sehr leicht, wenn doch nur f1 bijektiv wäre. Dann könnte man einfach schreiben:
„h := f2 ◦ f −1
1 ”. Da f1 nicht injektiv ist, muss man es „injektiv machen”, also G entsprechend
faktorisieren. Nach dem Homomorphiesatz existieren Homomorphismen ¯ f1 : G/K → H1 (bijektiv)
und ¯ f2 : G/K → H2, so dass mit der kanonischen Abbildung k : G → G/K gilt: f1 = ¯ f1 ◦ k und
f2 = ¯ f2 ◦ k. Mit h := ¯ f2 ◦ ¯ −1
f1 ist h ◦ f1 = ¯ f2 ◦ ¯ −1
f1 ◦ f1
¯ ◦ k = ¯ f2 ◦ k = f2.
3.2 Ringe und Körper
3.2.1 Ringe
Ein Ring ist eine Menge M mit zwei Verknüpfungen „+” und „·”, so dass (M, +) eine abelsche
Gruppe ist, (M, ·) eine Halbgruppe, und die üblichen Distributivgesetze erfüllt sind. Das neutrale
Element von (M, +) wird mit „0” bezeichnet. Besitzt (M, ·) ein neutrales Element, wird es mit „1”
bezeichnet. Man spricht dann von einem „Ring mit 1”. In der Linearen Algebra kommen fast nur
Ringe mit 1 vor.
Mit Ringen kann man in vielen Fällen so rechnen wie mit Zahlen; insbesondere ganzen Zahlen.
Man muss allerdings aufpassen, denn die Multiplikation muss nicht unbedingt kommutativ sein.
Es stellt sich heraus, dass die Addition meistens etwas mit der Addition von Zahlen zu tun hat,
die Multiplikation aber nicht unbedingt. Z.B. wird sich später zeigen, dass spezielle Abbildungen
(also keine Zahlen) einen Ring bilden, wenn man die Verkettung als Multiplikation benutzt. Weil
die Addition in einem Ring schon ziemlich festgelegt ist, beziehen sich übrigens Eigenschaften von
Ringen (wie Kommutativität, Inverse, Nullteilerfreiheit, Teilbarkeit mit Rest, usw.) fast immer auf
die Multiplikation.
Es ist wichtig zu wissen, was man in Ringen tun darf. Die Distributivgesetze geben einem die Möglichkeit,
Faktoren auszuklammern. Bestimmte Formeln, die man normalerweise mit reellen Zahlen
assoziiert, gelten daher auch in Ringen. Z.B. kann man leicht nachrechnen, dass die binomischen
Formeln in allen kommutativen Ringen mit 1 gelten, wenn man 2 := 1 + 1 setzt.
Z, Q und R sind natürlich Ringe. Interessanterweise sind auch die Zm := Z/mZ Ringe. (Insbesondere
sind die Verknüpfungen auf den Klassen wohldefiniert.) Es werden bald noch mehr Ringe
folgen.
In einem Ring M mit 1 wird die Menge der Elemente, die ein (multiplikatives) Inverses besitzen,
mit „M × ” bezeichnet. (M × , ·) ist immer eine Gruppe (die so genannte „Einheitengruppe”); dies ist
eine ziemlich wichtige Eigenschaft von Ringen. Z.B. ist Z × = {1, −1} und Z × 4 = {[1], [3]}.
3.2.2 Körper
Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit 1, dessen Einheitengruppe die gesamte Menge M außer
der 0 umfasst (M × = M \ {0}). D.h. auch (M \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe.
In einem Körper kann man nun endgültig so rechnen wie mit den Zahlen, die man aus der Schule
kennt. Da in einem Körper jedes Element außer der 0 ein (multiplikatives) Inverses besitzt, darf
man in einem Körper insbesondere teilen. Q und R sind Körper, und auch die komplexen Zahlen C
als Erweiterung von R bilden einen Körper. (Wäre das nicht so, dann wäre C wahrscheinlich keine
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