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man ziemlich viele verschiedene Ergebnisse, die außer den (abstrakten) Gruppeneigenschaften nicht
viel miteinander zu tun haben. Lohnenswerter ist es, die Eigenschaften von Gruppen zu untersuchen,
um wenigstens zu wissen, wofür man Gruppen braucht. Leider (oder glücklicherweise?) werden sie
erst in der Algebra wirklich wichtig. Ein Beispiel für ein gruppentheoretisches Ergebnis, das Ihr
wahrscheinlich kennen lernen werdet, ist der Satz von Fermat-Euler.
Normalerweise muss man beim Beweis, dass eine Menge M mit Verknüpfung „◦” Gruppe ist, sämtliche
Gruppenaxiome testen:
• Das Ergebnis der Verknüpfung ist tatsächlich immer ein Element der Menge: ∀m1, m2 ∈ M :
m1 ◦ m2 ∈ M. Man spricht von der „Abgeschlossenheit” der Verknüpfung.
• Die Verknüpfung ist assoziativ: ∀m1, m2, m3 ∈ M : (m1 ◦ m2) ◦ m3 = m1 ◦ (m2 ◦ m3).
• Es gibt ein Element, das sowohl rechts- als auch linksneutral ist: ∃e ∈ M : ∀m ∈ M : m◦e =
e ◦ m = m. Oft findet man ein Element, das auf einer Seite neutral ist. Falls die Verknüpfung
nicht zufällig kommutativ ist, muss man nachweisen, dass es auch auf der anderen Seite neutral
ist.
• Zu jedem Element gibt es ein Element, das sowohl rechts- als auch linksinvers ist: ∀m ∈
M : ∃m −1 ∈ M : m ◦ m −1 = m −1 ◦ m = e. Auch hier tritt oft der Fall auf, dass man zu
einem beliebigen Element ein anderes findet, das auf einer Seite invers ist, und man muss noch
zeigen, dass es auch auf der anderen Seite invers ist.
Theoretisch reichen für neutrale und inverse Elemente auch etwas schwächere Bedingungen, aber
da man im Allgemeinen diese Elemente direkt angeben kann, sollte man die Axiome so zeigen, wie
sie hier stehen. Für Untergruppen U muss man die Assoziativität nicht mehr zeigen. Auch weiß man
genau, welche Elemente neutral und jeweils invers sind. Das heißt aber nicht, dass man gar nichts
mehr zeigen muss; vielmehr ergeben sich andere Probleme:
• Die Verknüpfung ist nicht unbedingt abgeschlossen, wenn man sie auf die Untermenge einschränkt.
D.h. man muss zeigen, dass für alle u1 und u2 aus U auch wirklich u1 ◦ u2 ∈ U ist.
Im Allgemeinen ist das Produkt nur ein Element aus M.
• Das neutrale Element muss auch in der Untergruppe liegen: e ∈ U.
• Zu jedem Element x ∈ U muss man zeigen, dass x −1 ∈ U ist.
Auch hier kann man es sich theoretisch wieder einfacher machen, indem man nur zeigt, dass U nicht
∈ U ist.
leer ist, und dass für alle u1, u2 ∈ U das Produkt u1 ◦ u −1
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Dabei muss man sich häufig erst klar machen, was überhaupt „∈ U” bedeutet. Für U = {x ∈ M :
p(x)} weist man am besten p(e) nach und schreibt dann: „Seien u1, u2 ∈ U, d.h. p(u1) und p(u2).
Zu zeigen: u1 ◦ u −1
2 ∈ U, d.h. p(u1 ◦ u −1
2 ). . . . ” (Siehe auch 1.3.2.) Ist p ein etwas komplizierteres
Prädikat, wird das Ganze sonst ziemlich unübersichtlich.
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