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Wenn man eine Menge in Äquivalenzklassen einteilt, dann tut man es normalerweise aus dem Grund,
dass sich in bestimmten Situationen jedes Element aus der Klasse gleich verhält. Dann möchte man
nicht mehr nur mit den einzelnen Elementen rechnen, sondern mit den Klassen selbst. Konkret heißt
das, man will Abbildungen und Verknüpfungen für die Klassen definieren.
Z.B. könnte man eine Abbildung
f1 : Z/∼ → {0, 1}, k ↦→
0, falls k = [0]∼
1, falls k = [1]∼
definieren (wobei „∼” die Relation aus dem vorherigen Beispiel ist). Weil es in Z/∼ eben nur die
beiden Elemente [0]∼ und [1]∼ gibt, ist die Abbildung damit vollständig definiert.
Aber wenn die Anzahl der Klassen unendlich groß ist, dann funktioniert das nicht mehr so einfach.
Deshalb darf man sich ausnahmsweise bei der Definition der Abbildung ein Element der Klasse
(„Vertreter” genannt) herausnehmen, ungefähr so:
f2 : Z/∼ → {0, 1}, [x]∼ ↦→ x
Auf den ersten Blick ist dies tatsächlich eine Abbildung, nämlich die gleiche wie f1, denn f2([0]∼) =
0 und f2([1]∼) = 1. Aber 0 und 1 sind ja nicht die einzigen Elemente aus [0]∼ bzw. [1]∼! Es ist
[0]∼ = [2]∼, und deshalb muss f2([0]∼) = f2([2]∼) sein. (Wenn x = y ist, dann ist immer auch
f(x) = f(y), sonst wäre f(x) ja gar nicht eindeutig bestimmt.) Auf der anderen Seite sagt die
Definition von f2 aber f2([0]∼) = 0 und f2([2]∼) = 2.
Also kann man die Abbildung gar nicht so definieren. Man sagt, die Abbildung ist nicht „wohldefiniert”.
Das Problem der Wohldefiniertheit ergibt sich erst dann, wenn man sich die Ausnahme
zunutze macht, dass man die Abbildung über einen Vertreter der Klasse und nicht über die Klasse
selbst definieren darf. Dann muss man eben explizit dafür sorgen, dass das Resultat der Abbildung
nicht davon abhängt, welchen Vertreter der Klasse man benutzt. Korrekt wäre:
f3 : Z/∼ → {0, 1}, [x]∼ ↦→
0, falls x gerade ist
1, falls x ungerade ist
Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn nimmt man sich aus [x]∼ zusätzlich zu x einen weiteren
Vertreter x ′ , dann ist x ′ gerade, falls x gerade ist, und ungerade, falls x ungerade ist. Um dies formal
zu beweisen, müsste man ausnützen, dass x ∼ x ′ ist, und dies in die Definition von „∼” einsetzen.
3 Algebra
3.1 Gruppen
3.1.1 Definition
Eine Halbgruppe ist eine Menge mit assoziativer innerer Verknüpfung (d.h. sie verknüpft zwei Elemente
der Menge zu einem neuen Element der gleichen Menge). Eine Gruppe ist eine Halbgruppe
mit neutralem Element und inversen Elementen. Eine Untergruppe einer Gruppe ist eine Untermenge,
die selbst wieder Gruppe ist.
Diese Definition ist erst einmal ziemlich abstrakt; man kann sich unter einer Gruppe schwer etwas
vorstellen. Also sollte man zunächst untersuchen, was eine Gruppe ist und was nicht. Dabei bekommt
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