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Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Schul- und Uni-Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Existenz- und Allquantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Beweisführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.1 Voraussetzungen und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Einsetzen in Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.3 Widerspruchsbeweise, Eingrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.4 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.5 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.6 Gleichheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.7 Gleichheit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.8 Alternativen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.9 Befreiung gebundener Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.10 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.11 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.12 Gegenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.13 Benutzen aller Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.14 Themenüberschneidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.15 Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.16 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.17 Formale Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Mengenlehre 12 2.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Klassenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Algebra 16 3.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.2 Erzeugnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.4 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i
3.2 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.2 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.3 Unterringe und Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.4 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.5 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.2 Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.3 Weiterführende Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Vektorräume 31 4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.1 Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.2 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1.3 Erzeugnis, Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1.4 Lineare (Un-)Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1.5 Basen und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2.2 Multiplikation mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.3 Definition über Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.4 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2.5 Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Summen und Faktorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.1 Summen von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.2 Faktorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4 Dualräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4.2 Duale Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.3 Duale Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.4 Alternative Definition für Abbildungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5.2 Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ii
Seite 1: Einleitung Praktische Hinweise für
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Seite 9 und 10: Besondere Aufmerksamkeit verdienen
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Seite 13 und 14: 1.3.13 Benutzen aller Voraussetzung
Seite 15 und 16: 1. Wer sagt denn bitte, dass es ein
Seite 17 und 18: Hier werden vielleicht auch die Beg
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Seite 21 und 22: man ziemlich viele verschiedene Erg
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Seite 25 und 26: „Seien G, H1 und H2 Gruppen, f1 :
Seite 27 und 28: Es gibt den schönen Trick, die rec
Seite 29 und 30: p = a0 · X 0 + a1 · X 1 + a2 · X
Seite 31 und 32: 2. Umsortieren der Variablen 3. Mul
Seite 33 und 34: Dies bringt man zunächst auf die F
Seite 35 und 36: Z.B. kann man dem reellen LGS ⎛ 1
Seite 37 und 38: • a · (b · x) = (a · b) · x (
Seite 39 und 40: Dabei darf man nicht vergessen, das
Seite 41 und 42: Vektorräume), zwischen denen ein I
Seite 43 und 44: 1 0 2 Linearkombination der Basisve
Seite 45 und 46: Dass Kern und Bild sich gegenseitig
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Seite 49 und 50: damit Φ∗ : W ∗ → V ∗ , z
Seite 51 und 52: Wie merkt man sich am besten, welch
Seite 53 und 54:
z x y Um den Sinn von Eigenwerten b
Seite 55 und 56:
Matrix A in das Polynom X − c ein
Seite 57 und 58:
1. Auf der Diagonalen von J stehen
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