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Modell jedoch nicht leistet, ist eine sinnvolle Aussage über Vektoren selbst. Denn die identische Abbildung
(als Endomorphismus) könnte man in diesem Modell z.B. nicht von irgendeinem anderen
Automorphismus unterscheiden.
1.3.16 Spezialfälle
Ist eine Aufgabenstellung von allgemeiner Natur, und die Allgemeinheit der Grund dafür, dass sie
schwierig ist, dann hilft es meistens, sich bestimmte Spezialfälle zu überlegen, um so eine Grundlage
für die allgemeine Lösung zu erhalten. Das ist besonders hilfreich, wenn man die Lösung durch
vollständige Induktion beweisen kann. Dann kann man anhand der ersten paar Spezialfälle meist
die allgemeine Formel erraten. Normalerweise ist Raten in der Mathematik nicht erwünscht, aber
wenn man anschließend mittels vollständiger Induktion die Richtigkeit beweist, hat man seine Pflicht
getan.
Bei allgemeinen Vektorräumen bietet sich oft an, sich die Dimensionen 1, 2 und 3 besonders anzuschauen.
Wenn es um Unterräume geht, hat dies allerdings einen Nachteil: Bei Dimension n kommen
Unterräume nur in n + 1 verschiedenen Dimensionen vor, wovon auch noch 2 völlig uninteressant
sind. Im 3-dimensionalen Anschauungsraum bleiben uns nur Geraden und Ebenen als Unterräume,
die wir untersuchen können.
Ist ein bestimmter Mindestwert für eine Zahl gegeben (gilt z.B. eine Aussage nur für Vektorräume
der Dimension 2 oder größer), dann lohnt es sich, diesen Mindestwert als Spezialfall genau zu
untersuchen, und auch festzustellen, warum die Aussage für kleinere Werte noch nicht gilt (siehe
1.3.13).
1.3.17 Formale Schreibweise
Ausnahmsweise möchte ich noch einen Hinweis geben, der nicht dem Finden eines Lösungswegs
dient, sondern nur der Korrektheit und Nachvollziehbarkeit, insbesondere für den Korrektor, also
z.B. mich. :-) Wenn Ihr die Lösung vor Augen habt, solltet Ihr Euch unbedingt die Mühe machen,
den Beweis so formal wie möglich zu führen. Mal wieder ein Beispiel, und zwar der klassische
Beweis für das Prinzip der vollständigen Induktion, zunächst in Textform:
Sei p(n) eine Aussage, die für jedes n ∈ N entweder wahr oder falsch ist. p(1) sei wahr, und wenn
p(n) für ein n ∈ N wahr ist, dann sei auch p(n + 1) wahr.
1. Sei m die kleinste natürliche Zahl, für die p(m) falsch ist.
2. Weil p(1) wahr ist, ist m ≥ 2.
3. p(m − 1) ist wahr, weil m ja gerade die kleinste Zahl war, für die p(m) falsch ist.
4. Dann ist nach Voraussetzung auch p(m) wahr.
5. Dies ist ein Widerspruch, also kann es kein solches m geben.
6. Also ist p(n) für alle n wahr.
Auf den ersten Blick ist der Beweis einleuchtend, und wahrscheinlich würde er so akzeptiert. Aber
eigentlich enthält er einige Lücken:
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