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gibt es aber auch ein y ∈ M, so dass z = f(y) ist, d.h. f(x) = f(y). Wegen x /∈ M und y ∈ M ist
x = y. Damit ist f nicht injektiv.
Es ist hoffentlich klar, dass es in Wirklichkeit keine Rolle spielt, wie gebundene Variablen heißen.
Die Aussage, die hier gezeigt wurde, war: „∃x, y ∈ D, x = y : f(x) = f(y)”. Das ist äquivalent zu
„∃x1, x2 ∈ D, x1 = x2 : f(x1) = f(x2)”.
1.3.10 Vollständige Induktion
Das Prinzip der vollständigen Induktion möchte ich hier nur der Vollständigkeit halber erwähnen.
Es eignet sich gut, um eine Aussage zu zeigen, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Man zeigt
sie dann z.B. für n = 1 und sagt: „Wenn die Aussage für n = n0 gilt (n0 ∈ N), dann gilt sie auch für
n = n0 + 1.” Man kann auch voraussetzen, dass die Aussage für alle n ≤ n0 gilt, aber das braucht
man sehr selten. Generell muss man immer die Induktionsvoraussetzung benutzen; darauf sollte man
als Erstes hinarbeiten.
Vollständige Induktion übt man im Laufe der ersten Semester sehr oft. Wer sich an den Übungen
beteiligt, bekommt in den Klausuren dadurch wichtige Punkte geschenkt.
1.3.11 Symmetrie
Ich denke, in der Zwischenzeit habt Ihr die Formulierung „o.B.d.A.” („ohne Beschränkung der Allgemeinheit”
bzw. „ohne Bedenken des Autors”) kennen gelernt. Tatsächlich gibt es einige Situation,
in denen es gerechtfertigt ist, Voraussetzungen zu treffen, die nicht in der Aufgabenstellung gegeben
sind.
Beispiel: In der Aufgabenstellung ist eine endliche Menge reeller Zahlen ({a1, a2, . . . , an}) gegeben,
deren Reihenfolge für das Resultat keine Rolle spielt. Man hätte sie gerne in aufsteigender Reihenfolge
sortiert. Warum nicht? Denn wenn sie es nicht sind, kann man sie sortieren, den Beweis bzw.
die Rechnung auf den sortierten Zahlen durchführen, und das Ergebnis auch auf die unsortierten
Zahlen anwenden, da die Reihenfolge ja keine Rolle spielte.
Wichtig ist, dass es in der Aufgabenstellung eine Symmetrie im weitesten Sinne gibt. Was ich mit
„Symmetrie” meine, wird vielleicht eher an folgendem Beispiel deutlich:
„Sei entweder a > 0 und b < 0, oder a < 0 und b > 0. Zeigen Sie: a · b < 0.”
Hier wäre es völlig legitim, am Anfang „o.B.d.A. a > 0, b < 0” zu schreiben. Am besten schreibt
man am Ende noch etwas wie: „Der Fall a < 0, b > 0 folgt aus Symmetriegründen wegen der
Kommutativität der Multiplikation.”
1.3.12 Gegenbeispiele
Ein Gegenbeispiel gibt man immer dann an, wenn man zeigen will, dass eine bestimmte Aussage, die
in mathematischer Schreibweise ein Allquantor-Term wäre, falsch ist. Theoretisch gesehen wandelt
man dabei den Allquantor in einen Existenzquantor um, nach der entsprechenden Regel.
∀x ∈ R : x > 0 ist falsch, denn x = 0 ist ein Gegenbeispiel. (Wow!)
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