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1.3.9 Befreiung gebundener Variablen
„∃x. . . ” und „∀x. . . ” binden jeweils die Variable x. Außerhalb des Ausdrucks hat x eigentlich keine
Bedeutung, man könnte sie sogar theoretisch neu belegen. Folgendes Beispiel wäre formal korrekt:
∃y ∈ Bild f : z = y ⇒ ∃y ∈ Def f : z = f(y)
Hier ist y in der ersten Aussage das, was f(y) in der zweiten Aussage ist.
So etwas ist aber überhaupt nicht schön und kann sogar Punktabzug geben! Aus Gründen der Übersichtlichkeit
werden Variablen nämlich oft auch außerhalb ihres Geltungsbereichs benutzt. Hat man
die Existenz eines Objekts bewiesen, das einer bestimmten Bedingung genügt, dann will man dieses
oft benennen, um damit weiterrechnen zu können. Der Existenzquantor hat dem Objekt aber schon
vorläufig einen Namen gegeben, den man nach Möglichkeit beibehalten sollte:
∃y ∈ Bild f : z = y. Für dieses y gilt: ∃x ∈ Def f : y = f(x), und damit für dieses x: z = f(x)
Das reißt den Beweis jedoch stark auseinander, und man verfällt leicht in immer mehr natürliche
Sprache. Man könnte versuchen, es mit mathematischen Symbolen zu schreiben, also so:
∃y ∈ Bild f : z = y ⇒ ∃x ∈ Def f : y = f(x) ⇒ z = f(x)
Es ist jedoch nicht klar, wie dies zu verstehen ist. Zunächst einmal gibt es jeweils zwei verschiedene
Möglichkeiten, wie man Klammern setzen könnte:
1. ∃y ∈ Bild f : (z = y ⇒ ∃x ∈ Def f : y = f(x))
2. (∃y ∈ Bild f : z = y) ⇒ (∃x ∈ Def f : y = f(x))
Die erste Version drückt nicht das Richtige aus. Sie wäre z.B. auch dann wahr, wenn z = y für kein
y ∈ Bild f gelten würde. Die zweite Version kann aber auch nicht richtig sein, denn y ist eigentlich
außerhalb der ersten Klammer gar nicht mehr definiert.
Man braucht also eine neue Schreibweise. Mein persönlicher Vorschlag ist, die Folgerung versetzt
unter den Term im Existenzquantor zu schreiben:
∃ y ∈ Bild f
: z = y
⇒ ∃x ∈ Def f : y = f(x)
⇒ z = f(x)
z=y
Das sind die gleichen Symbole wie oben, nur anders platziert. Nun ist etwas klarer, auf welche Weise
gefolgert wird. Das Ergebnis soll übrigens sein: ∃x ∈ Def f : z = f(x)
Das Ganze funktioniert übrigens so nur mit Existenzquantoren und nur eingeschränkt mit Allquantoren.
(Warum wohl?) Glücklicherweise liefert die Technik des Widerspruchsbeweises eine Möglichkeit,
Allquantoren anhand der bekannten Regeln in Existenzquantoren umzuwandeln:
„Sei f : D → R eine injektive Funktion. Zeigen Sie: ∀M ⊂ D : f −1 (f(M)) = M.”
Die Injektivität ist definiert als: ∀x1, x2 ∈ D, f(x1) = f(x2) : x1 = x2. Die Negation davon ist:
∃x1, x2 ∈ D, x1 = x2 : f(x1) = f(x2). Und auch die Negation von ∀M ⊂ D : f −1 (f(M)) = M
liefert einen Existenzquantor: ∃M ⊂ D : f −1 (f(M)) = M. Fangen wir also damit an. Wegen
M ⊂ f −1 (f(M)) ist dann f −1 (f(M)) ⊂ M, also gibt es ein x ∈ f −1 (f(M)) mit x /∈ M. Nach der
Definition von f −1 ist f(x) ∈ f(M). Für jedes Element z aus f(M) (insbesondere für z = f(x))
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