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Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz
Dr.-Ing. Dr. Ing. T. Asfour
3. Übung
Minimierungsverfahren
Graphische Verfahren
Quine-McCluskey-Verfahren
Consensus-Verfahren
Nelson-Verfahren
Bündelminimierung
Vorgehensweise beim Minimieren
Besitmmung aller Primterme Primterm
Lösung des Überdeckungsproblems
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Dr.-Ing. Dr. Ing. T. Asfour
Ü3-1 Ü3
Ü3-2 Ü3

Vorgehensweise beim Minimieren
Aufgabenstellung Primterme Auswahl
Variablenanzahl ≤ 6 KV-Diagramm KV-Diagramm
Überdeckungstabelle
Geg. DF(KF)
Ges. DMF(KMF)
Geg. DF(KF)
Ges. KMF(DMF)
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Consensus
Quine-McCluskey
Nelson
Aufgabe 1
Gegeben seien die Booleschen Funktionen:
Überdeckungstabelle
Überdeckungstabelle
• f 1(d,c,b,a) = (b ∨ c) (⎯d ∨ ⎯c ∨ b) (d ∨ ⎯c ∨ b ∨ a)
• f 2(d,c,b,a) = a d c ∨ b c⎯d ∨ b c d ∨⎯a c d
Vereinfachen Sie die Booleschen Ausdrücke der Funktionen
durch algebraische Umformungen
mit Hilfe vom KV-Diagramm
Ü3-3 Ü3
Ü3-4 Ü3

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Aufgabe 1
f 1(d,c,b,a) = (b ∨ c) (⎯d ∨ ⎯c ∨ b) (d ∨ ⎯c ∨ b ∨ a)
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Aufgabe 1
f 1(d,c,b,a) = (b ∨ c) (⎯d ∨ ⎯c ∨ b) (d ∨ ⎯c ∨ b ∨ a)
d
0 1
2 3
a
10 11
8 9
5 4
7 6 b
c
15 14
13 12
c
b
Ü3-5 Ü3
Ü3-6 Ü3

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Aufgabe 1
f 2(d,c,b,a) = a d c ∨ b c⎯d ∨ b c d ∨⎯a c d
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Aufgabe 1
f 2(d,c,b,a) = a d c ∨ b c⎯d ∨ b c d ∨⎯a c d
d
0 1
2 3
a
10 11
8 9
5 4
7 6 b
c
15 14
13 12
c
b
Ü3-7 Ü3
Ü3-8 Ü3

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Aufgabe 2
Gegeben sei die vollständig definierte Schaltfunktionen:
f(e, d,c,b,a) = MINt (0,1,2,4,6,7,8,9,12,14,15,16,17,19,20,24,25,28)
Gesucht:
Disjunktive Minimalform (DMF)
Konjunktive Minimalform (KMF)
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Aufgabe 2
f(e, d,c,b,a) = MINt (0,1,2,4,6,7,8,9,12,14,15,16,17,19,20,24,25,28)
d
0 1
2 3
a
10 11
8 9
5 4
7 6 b 22 23
c
15 14
13 12
c
c
b
a
20 21
30 31
28 29
e
17 16
19 18 b
c
27 26
25 24
b
Ü3-9 Ü3
Ü3-10 Ü3 10

Primimplikanten:
e c b
e c a
d c a
DMF mit KV-Diagramm
c b
b a
e d b a
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b
a
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
Kernprimimplikanten: b a c b e c b d c a
Entbehrliche PI: e c a e d b a
DMF: y = b a ∨ c b ∨ e c b ∨ d c a
Primimplikate:
e ∨ c ∨ b
e ∨ c ∨ a
e ∨ d ∨ b
c ∨ b ∨ a
e ∨ b ∨ a
c ∨ b ∨ a
d ∨ c ∨ b
KMF mit KV-Diagramm
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b
c
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Kernprimimplikate
KMF:
y =
a
0 0
c
( c ∨ b ∨ a)
a
a
e
e
( c ∨ b ∨ a)
( d ∨ c ∨ b)
( e ∨ c ∨ b)
d
Ü3-11 Ü3 11
d
Ü3-12 Ü3 12

1. Schritt:
Quine-McCluskey-Verfahren
Die Minterme werden nach der Anzahl der in ihnen
vorkommenden nicht negierten Variablen geordnet
1. Quineschen Tabelle
2. Schritt:
Zwei Ausdrücke, die sich nur in einer Variablen
unterscheiden werden durch Streichen der unterschiedlichen
Variablen zusammengefasst.
Zwei Ausdrücke, aus denen ein neuer entstanden ist, werden
abgehakt und sind somit Keine Primimplikanten; sie
nehmen jedoch weiter an den Vergleichen teil.
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3. Schritt:
Quine-McCluskey-Verfahren
Schritt 2 wird solange wiederholt, bis keine neuen Spalten
mehr in der Tabelle entstehen.
Alle nicht abgehakten Ausdrücke in der Tabelle
sind die Primblöcke ( Primimplikanten).
4. Schritt:
Umsetzen der entstehenden Primblöcke (Würfel) in
Primimplikanten
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Ü3-13 Ü3 13
Ü3-14 Ü3 14

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Aufgabe 3
Gegeben: f (d,c,b,a) = MINt(0,2,5,6,7,8,9,12,13,15)
Gesucht:
• Alle Primimplikanten der Funktion f(d,c,b,a) mit Hilfe
vom Quine-McCluskey-Verfahren
• Alle disjunktiven Minimalformen von f(d,c,b,a)
1. Schritt:
Die Minterme nach Gewicht (Anzahl der Einsen) sortieren
1. Quineschen Tabelle
Bestimmung der Primimplikanten
f (d,c,b,a) = MINt(0,2,5,6,7,8,9,12,13,15)
Gewicht Nr. 0. Ordnung
0 0 0000
1 2 0010
8 1000
2 5 0101
6 0110
9 1001
12 1100
3 7 0111
13 1101
4 15 1111
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Anzahl der Vergleiche:
1·2 + 2 ·4 + 4 ·2 + 2 ·1 = 20
Ü3-15 Ü3 15
Maximale Anzahl der Vergleiche:
n/2 * (n-1) (n 1) bei n Mintermen
Ü3-16 Ü3 16

Bestimmung der Primimplikanten
j Nr. 0. Ordnung
0 0 0000
1 2 0010
8 1000
2 5 0101
6 0110
9 1001
12 1100
3 7 0111
13 1101
4 15 1111
j Nr. 1. Ordnung
0 0,2 00-0
0,8 -000
1 2,6 0-10
8,9 100-
8,12 1-00
2 5,7 01-1
5,13 -101
6,7 011-
9,13 1-01
12,13 110-
3 7,15 -111
13,15 11-1
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A
B
C
Bestimmung der DMF
Überdeckungstabelle (2. Quinesche Tabelle)
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D
j Nr. 2. Ordnung
1 8,9,12,13 1-0-
8,12,9,13 1-0-
2 5,7,13,15 -1-1
5,13,7,15 -1-1
Primimplikanten:
A: d c a
B: c b a
C: d b a
D: d c b
E: d b
F: c a
PI 0 2 5 6 7 8 9 12 13 15
A x x
B x x
C x x
D x x
Minterme
E x x x x
F x x x x
E
F
Ü3-17 Ü3 17
Ü3-18 Ü3 18

Bearbeitung der Überdeckungstabelle
Suchen die Kernprimimplikanten und streiche alle von
ihnen überdeckten Minterme
Ausnutzung der Regeln der Dominanz:
Spaltendominanz: Streichen aller dominierenden Minterme
Zeilendominanz: Streichen aller dominierten
Primimplikanten, falls sie nicht „teurer“ als ihre
Dominierenden sind.
Auswertung der reduzierten Überdeckungstabelle
(Aufstellung der Überdeckungsfunktion der
reduzierten Tabelle)
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Bearbeitung der Überdeckungstabelle
PI 0 2 5 6 7 8 9 12 13 15
A x x
B x x
C x x
D x x
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Minterme
E x x x x
F x x x x
Ü3-19 Ü3 19
Ü3-21 Ü3 21

Bearbeitung der Überdeckungstabelle
Reduzierte Überdeckungstabelle und Überdeckungsfunktion:
PI 0 2 6
A x x
B x
Minterme
C x x
D x
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ü f = (w A ∨ w B) (w A ∨ w C) (w C ∨ w D)
Überführung in eine disjunktive Form:
⇒ ü f = w Aw C ∨ w Aw D ∨ w Bw C
Disjunktive Minimalformen
Überdeckungsfunktion:
ü f = w Aw C ∨ w Aw D ∨ w Bw C
Ergebnis:
f(d,c,b,a) = d b ∨ c a ∨
Primimplikanten:
A: d c a
B: c b a
C: d b a
D: d c b
E: d b
F: c a
d c a ∨ d b a
d c a ∨ d c b
c b a ∨ d b a
Ü3-22 Ü3 22
Ü3-23 Ü3 23

Konjunktive Minimalform
f (d,c,b,a) = MAXt(0,2,5,6,7,8,9,12,13,15)
Primimplikanten:
A: d c a
B: c b a
C: d b a
D: d c b
E: d b
F: c a
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Primimplikate
Konjunktive Minimalform
Überdeckungsfunktion:
üf = wAwC ∨ wAwD ∨ wBwC DMF:
f(d,c,b,a) = d b ∨ c a ∨
d c a ∨ d b a
d c a ∨ d c b
c b a ∨ d b a
Ü3-24 Ü3 24
Ü3-25 Ü3 25

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Aufgabe 4
Eine unvollständig definierte Schaltfunktion sei durch ihre Einsund
don‘t care-Stellen (Abkürzung D) gegeben:
f (e,d,c,b,a) = MINt(12,13,14,15,29,30) ∨ D (17,18)
• Bestimmen Sie alle Primimplikanten der Funktion
f(e,d,c,b,a) mit Hilfe vom Quine-McCluskey-Verfahren
• Geben Sie eine disjunktive Minimalform von f(e,d,c,b,a) an.
j Nr. 0. Ordnung
2 17 10001 (x)
18 10010 (x)
12 01100
3 13 01101
14 01110
4 15 01111
29 11101
30 11110
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Aufgabe 4
j Nr. 1. Ordnung
2 12,13 0110-
12,14 011-0
3 13,15 011-1
13,29 -1101
14,15 0111-
4 14,30 -1110
C
B
Ü3-26 Ü3 26
j Nr. 2. Ordnung
2 12,13,14,15 011--
12,14,13,15 011--
Primimplikanten:
A: 011-- e d c
B: -1110 d c b a
C: -1101 d c b a
Alle Primimplikanten sind Kernprimimplikanten. Die Freistellen wurden mit
keinem Minterm zusammengefasst. Sie dürfen in der Minimalform nicht
aufgenommen werden
DMF: A ∨ B ∨ C = e d c ∨ d c b a ∨ d c b a
A
Ü3-27 Ü3 27

d
d
0 1
2 3
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a
10 11
8 9
Aufgabe 4
f (e,d,c,b,a ( e,d,c,b,a) ) = MINt(12,13,14,15,29,30) ∨ D (17,18)
A
1 1 1 1
0 1
2 3
10 11
8 9
5 4
7 6 b
15 14
13 12
5 4
7 6
c
1 1
15 14
13 12
c
1
20 21
22 23
C
a
30 31
1 1 1
B
Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz
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b
28 29
e
x
17 16
19 18
c
x
27 26
25 24
Das Überdeckungsproblem
Kernprimimplikanten: Primimplikanten, die für einen einzelnen
Eintrag in einer Spalte verantwortlich sind.
a
1 1
1 1
c
1
1
PI 0 1 4 5 6 9 11 13 14 15
b
Minterme
⎯d⎯b x x x x
⎯b a x x x x
d a x x x x
d c b x x
c b⎯a x x
⎯d c⎯a x x
Ü3-28 Ü3 28
Ü3-31 Ü3 31

d
1 1 1 1
0 1
2 3
10 11
8 9
a
1 1
Das Überdeckungsproblem
1 1
5 4
1
7 6 b
1
15 14
13 12
c
Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz
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b
Minterme
PI 0 1 4 5 6 9 11 13 14 15
⎯d⎯b x x x x
⎯b a x x x x
d a x x x x
d c b x x
c b⎯a x x
⎯d c⎯a x x
Spaltendominaz: Spalten, die andere überdecken, können
gestrichen werden (Hier: Keine).
0 1
2 3
Das Überdeckungsproblem
Zeilendominaz: Zeilen mit nur Einträgen, die andere Zeile hat,
können gestrichen werden (falls sie nicht „billiger“ sind)
a
d
1 1 1 1
10 11
8 9
1 1
1 1
5 4
1
7 6 b
1
15 14
13 12
c
DMF: ⎯d⎯b b ∨ d a ∨ c b⎯a
b
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b
Minterme
PI 0 1 4 5 6 9 11 13 14 15
⎯d⎯b x x x x
⎯b a x x x x
d a x x x x
d c b x x
c b⎯a x x
⎯d c⎯a x x
Ü3-32 Ü3 32
Ü3-33 Ü3 33

Cosensus-Verfahren
Das Consensus-Verfahren kann als Erweiterung des Quine-
McCluskey Verfahrens gesehen werden.
Consensus-Regel:
In der booleschen Algebra gelten die beiden folgenden, hier für
die Schaltalgebra beschriebenen Identitäten:
x u ∨ x w = x u ∨ x w ∨ u w
( x ∨ W ) · ( x ∨ U ) = ( x ∨ W ) · ( x ∨ U ) · ( U ∨ W )
x ist eine beliebige Variable,
u und w bzw. U und W sind beliebige Schaltfunktionen.
(u und w sind meist Konjunktionen, U und W Disjunktionen in den
unabhängigen Variablen)
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Beispiel (KV-Diagramm):
Consensus-Verfahren
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0 1
0 1
ac ∨ b c = a c ∨ b c ∨ a b
a c, b c, a b sind Würfel
a
0
0
1 1
a b nennt man Consensusterm oder Consensus-Würfel
Beachte: die Variable c kommt in a c negiert und in
b c nicht negiert vor.
c
b
Ü3-34 Ü3 34
Ü3-35 Ü3 35

Beweis:
Consensus-Verfahren
x u ∨ x w = x u ∨ x w ∨ u w
Absoprtionsgesetze: x = x (x ∨ w) x = x ( x ∨ u)
x u ∨ x w = x (x ∨ w) u ∨ x ( x ∨ u) w
= x u ∨ x w u ∨ x w ∨ x u w
= x u ∨ x w ∨ u w ( x ∨ x )
= x u ∨ x w ∨ u w
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Aufgabe 5
q.e.d
Gegeben sei eine Anfangsüberdeckung der Einsstellen einer
Booleschen Funktion f(e,d,c,b,a):
C = { (–, 0, –, 0, 0), (–, –, 0, 0, –), (–, 1, –, 0, 0), (0, 1, 0, –,1),
(1, –, 1, 1, –), (1, 1, 0, –, 1)}
Gesucht: Alle Primimplikanten und die DMF
Ü3-37 Ü3 37
Ü3-38 Ü3 38

Consensus-Verfahren
Nr. Gebildet aus Würfel Gestrichen wegen
1 - 0 - 0 0 ⊂ 7
2 - - 0 0 -
3 - 1 - 0 0 ⊂ 7
4 0 1 0 - 1 ⊂ 9
5 1 - 1 1 -
6 1 1 0 - 1 ⊂ 9
7 3,1 - - - 0 0
8 6,5 1 1 - 1 1
9 6,4 - 1 0 - 1
10
7,5 1 - 1 - 0
8,2 1 1 0 - 1 ⊂ 9
9,7 - 1 0 0 - ⊂ 2
9,5 1 1 - 1 1 = 8
10,8
10,2
1 1 1 1 -
1 - - 0 0
⊂ 5
⊂ 7
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DMF
⇒ c b
⇒ e c b
⇒ b a
⇒ e d b a
⇒ d c a
⇒ e c a
Zur Bestimmung der DMF muss man das Überdeckungsproblem
lösen (z. B. mit Hilfe der Überdeckungstabelle).
Durch welche Primimplikanten werden die einzelnen Minterme
überdecket ?
Würfel (- - 0 0 -) überdeckt die Minterme:
(0 0 0 0 0) (1 0 0 0 0)
(0 0 0 0 1) (1 0 0 0 1)
(0 1 0 0 0) (1 1 0 0 0)
(0 1 0 0 1) (1 1 0 0 1)
Ü3-39 Ü3 39
Ü3-40 Ü3 40

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DMF
Minterme
PI 0 1 4 8 9 11 12 16 17 20 22 23 24 25 27 28 30 31
c b x x x x x x x x
e c b x x x x
b a x x x x x x x x
e d b a x x
d c a x x x x
e c a x x x x
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DMF
Minterme
Ü3-41 Ü3 41
PI 0 1 4 8 9 11 12 16 17 20 22 23 24 25 27 28 30 31
c b x x x x x x x x
e c b x x x x
b a x x x x x x x x
e d b a x x
d c a x x x x
e c a x x x x
Ü3-42 Ü3 42

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Nelson-Verfahren
Das Verfahren von Nelson unterscheidet sich von den anderen
dadurch, dass es die Primimplikanten aus den Nullstellen und
die Primimplikate aus den Einsstellen der Funktion berechnet.
Ausdistribuieren aller Implikanten und anschließend Anwednung
der Gesetze:
x · x = 0 x ∨ x = 1
x · x = x x ∨ x = x
x ∨ x y = x x ( x ∨ y ) = x
x ∨ 0 = x x · 1= x
Es entsteht die Disjunktion aller Primimplikanten
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Aufgabe 6
f(d,c,b,a) = (d ∨ b) (c ∨ a) (d ∨ c ∨ a) (d ∨ c ∨ b)
= (d c ∨ b c ∨ d a ∨ b a) (d ∨ c ∨ a) (d ∨ c ∨ b)
= (d c a ∨ b c d ∨ b c a ∨ d a c ∨ b a d ∨ b a c) (d ∨ c ∨ b)
= b c d ∨ b a d ∨ d c a ∨ b c a ∨ d a c b
KV-Diagramm:
b
0
1
a
1 1
0 0 0 0
0
0
1 0 1
0
0
c
1
d
DMF:
Überdeckungsproblem
lösen !
Ü3-43 Ü3 43
Ü3-44 Ü3 44

Bündelminimierung
Gleichzeitige Minimierung mehrerer Boolescher Funktionen,
die von denselben Eingangsvariablen abhängen, so dass sich
geringere Gesamtkosten, gegenüber der Minimierung
jeder einzelnen dieser Booleschen Funktionen, ergeben.
(Algorithmus zur Bündelminimierung: ESPRESSO)
Hier: graphisch
Aufgabe 4:
Die f1(d,c,b,a) bis f4(d,c,b,a) einzeln und gemeinsam
minimieren
f1
b
f4
b
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Funktionen einzeln minimieren
a
– – – 0
– –
1 1
– 1 1 0
– 0 0 1
a
– – –
c
–
0 – – 0
1 – – 1
0 1 1
0
c
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d
d
f2
b
– –
–
–
a
0 0
1 –
– 0 1 –
– – 0 1
c
d
f3
b
a
– – –
0 – – 0
c
Ü3-45 Ü3 45
–
1 – 0 1
0 – – 1
Ergebnis:
3 + 2 + 2 + 2 = 9 Produktterme
d
Ü3-46 Ü3 46

f1
b
f4
b
Funktionen gemeinsam minimieren
a
– – – 0
– –
1 1
– 1 1 0
– 0 0 1
a
– – –
c
c
–
0 – – 0
1 – – 1
0 1 1
0
Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz
Dr.-Ing. Dr. Ing. T. Asfour
d
d
f2
b
– –
–
–
a
0 0
1 –
– 0 1 –
– – 0 1
c
Ergebnis: 5 Produktterme
d
f3
b
a
– – –
0 – – 0
c
–
1 – 0 1
0 – – 1
d
Ü3-47 Ü3 47