Höhere Mathematik II (Analysis) für die ... - next-internet.com

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2011
Institut für Analysis
Priv.-Doz. Dr. G. Herzog
Dr. M. Radosz
Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik
Aufgabe 4 (K).
2. Übungsblatt
Abgabe bis Freitag, 29.04.2011, 12.30 Uhr
(a) Sei g : R → R 3 , g(t) = (e t , sin t, t 2 ) und f : R 3 → R, f(x, y, z) = xyz. Berechnen Sie für
h = f ◦ g : R → R die Ableitung h ′ einmal nach der Kettenregel und einmal, indem Sie die
explizit die Verkettung f ◦ g berechnen und differenzieren.
(b) Sei V := {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, x, y, z ≥ 0}. Zeigen Sie:
| log(x + y + z 2 )| ≤ 4 √ 3 − 3z für (x, y, z) ∈ V.
Hinweis: Mittelwertsatz mit a = (0, 0, 1), b = (x, y, z), und Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Aufgabe 5 (K).
(a) Sei f : R 2 → R, f(0, 0) = 0, f(x, y) = x3 y − xy 3
x 2 + y 2
Definition der Differenzierbarkeit: f ′ (0, 0) = (0, 0).
(b) Zeigen Sie für die Funktion f : R2 → R
2 2 (x + y ) sin √ 1 für (x, y) = (0, 0)
f(x, y) =
x2 +y2 0 für (x, y) = (0, 0)
für (x, y) = (0, 0). Zeigen Sie mit Hilfe der
dass die partiellen Ableitungen in (0, 0) unstetig sind. Ist f in (0, 0) differenzierbar?
(c) In welchen Punkten ist die Funktion f : R 2 → R
⎧
⎨
xy
f(x, y) =
⎩
x2 − y2 x2 + y2 für (x, y) = (0, 0)
0 für (x, y) = (0, 0)
differenzierbar? Berechnen Sie dort f ′ .
Aufgabe 6.
(a) Sei M := {(x, y) ∈ R 2 : x = y} sowie
f(x, y) = e x − 1 (x, y) ∈ M; f(x, y) = 0 (x, y) /∈ M.
Zeigen Sie, dass die Richtungsableitung ∂f
∂v (0, 0) für jede Richtung v existiert. Ist f in (0, 0)
differenzierbar?
(b) Berechnen Sie für f : R 2 → R,
⎧
⎨
f(x, y) =
⎩
y3 − x2y x2 + y2 für (x, y) = (0, 0)
0 für (x, y) = (0, 0)
die Richtungsableitung ∂f
∂v (0, 0) für jede Richtung v, für die das möglich ist. Für welche v gilt
(0, 0) = (grad f(0, 0)) · v?
∂f
∂v
(c) Die Funktion g : R 2 → R sei im Punkt (x0, y0) differenzierbar. Für die Richtungen u := 1 √ 5 (1, 2)
und v := 1 √ 2 (−1, 1) gelte ∂g
∂u (x0, y0) = − 1 √ 5 sowie ∂g
∂v (x0, y0) = 2 √ 2 . Bestimmen Sie ∂g
∂w (x0, y0)
für w := 1 √ 2 (1, 1).
,
bitte wenden!

Übungsblatt
Jeden Donnerstag erscheint ein Übungsblatt zur schriftlichen Bearbeitung und kann im 3. OG, Allianzgebäude
(in unmittelbarer Nähe des Aufzugs) abgeholt oder von
http://www.math.kit.edu/iana2/lehre/hm2info2011s/de
heruntergeladen werden. Die beiden K-Aufgaben können zur Korrektur abgegeben werden.
Die bearbeiteten Aufgaben werden in die Kästen im 3. OG, Allianzgebäude, Gebäudeteil A geworfen.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer des Tutoriums sowie den Namen des Tutors auf die
Blätter und heften diese zusammen.
Der späteste Abgabetermin ist dem jeweiligen Übungsblatt zu entnehmen. In der Regel ist dies 12:30
Uhr am Freitag der folgenden Woche.
Die Rückgabe der korrigierten Übungsblätter erfolgt in den Tutorien.
Übungsschein
Jede K-Aufgabe wird mit maximal 4 Punkten bewertet. Einen Übungsschein erhält, wer in den
Übungsblättern 1-7 und 8-13 mindestens 28 bzw. 24 Punkte erzielt.
Anmeldung für den Übungsschein
Absolut notwendig für den Erhalt des Übungsscheins ist eine Anmeldung im QISPOS-System (Selbstbedienungsfunktionen
für Studierende). Die Prüfungsnummer des Scheins lautet 263. Ohne eine
rechtzeitige Anmeldung werden Sie den Schein nicht bekommen, selbst wenn Sie genügend Punkte
haben. Melden Sie sich so schnell wie möglich an!