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Wdh. 3.1.4 Normalformen 

Boolesche Funktion kann durch verschiedene Boolesche 

Ausdrücke beschrieben werden. 

Eine Standarddarstellung Boolescher Funktionen im 

vollständigen Operatorensystem (∧, ∨,⎯ ) ist die 

konjunktive (KNF) und die disjunktive Normalform 

(DNF). 

Produktterm 

Minterm 

Implikant 

disjunktive Normalform (DNF) 

Institut für Technische Informatik (ITEC) 

Prof. Dr.-Ing. Dr. Ing. U. D. Hanebeck & Dr.-Ing. Dr. Ing. T. Asfour 

7-1

Definition 2.7: 



Implikat 

Es sei D(x 1,...,x ,...,xm) eine Disjunktion von Literalen 

∨ 

m 

Li = L 1∨ … ∨ Lm oder die Konstante "0" oder "1" 

i=1 

Der Term D (x 1,...,x ,...,xm) heißt Implikat einer 

Booleschen Funktion y (x 1,...,x ,...,xm), ), wenn ⎯D → ⎯y 

Das heißt für jede Belegung B ∈ {0,1} n gilt: Wenn 

D(B) = 0, 0 dann ist auch y(B) = 0. 0 

7-2




Maxterm 

Ein Implikat einer Booleschen Funktion y(x 1,...,x ,...,xm) heißt 

Maxterm, wenn ein Literal jeder Variable xi der Funktion 

y im Implikaten genau einmal vorkommt. 

Maxterm-Beispiele für die Booleschen Funktion y(x 1,...,x 3): 

x 1 ∨ x 2 ∨ x 3 

x 1 ∨⎯x 2 ∨ x 3 

7-3


Konjunktive Normalform 

Es sei eine Boolesche Funktion y(x 1,...,x ,...,xn) gegeben. 

Ein Boolescher Ausdruck heißt konjunktive Normalform 

(KNF), wenn er aus einer konjunktiven Verknüpfung von 

Maxtermen D i besteht: 

y = D 0 ∧ D1 ∧ ..... ∧ Dk , k ≤ 2n-1 Es darf dabei keine zwei Disjunktionen Di, , Dj mit i ≠ j 

geben, die zueinander äquivalent sind. 



7-4

Minterme & Maxterme 

In einer Funktion mit n Variablen können bis zu 2 n Minterme 

bzw. Maxterme auftreten. Für n = 3 sind diese: 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

Minterm 

⎯a⎯b⎯c 

a⎯b⎯c 

⎯a b⎯c 

a b⎯c 

⎯a⎯b c 

a⎯b c 

⎯a b c 

a b c 



Maxterm 

a ∨ b ∨ c 

⎯a ∨ b ∨ c 

a ∨⎯b ∨ c 

⎯a ∨⎯b ∨ c 

a ∨ b ∨⎯c 

⎯a ∨ b ∨⎯c 

a ∨⎯b ∨⎯c 

⎯a ∨⎯b ∨⎯c 

7-5

Herkunft der Bezeichnungen 

Minterme: 

Ein einziger Minterm: 

• Für genau eine Belegung Funktionswert 1 

• Minimalität: 

– maximale Anzahl an Nullen 

– minimale Anzahl an Einsen 

(abgesehen von trivialer Nullfunktion) 

Maxterme: 

Ein einziger Maxterm: 

• Für genau eine Belegung Funktionswert 0 

• Maximalität: 

– maximale Anzahl an Einsen 

– minimale Anzahl an Nullen 

(abgesehen von trivialer Einsfunktion) 



7-6



DNF und KNF (1) 

Disjunktive und konjunktive Normalformen sind eindeutige 

Darstellungen! 

Beispiel: y = a⎯b ∨ c 

7-7



DNF und KNF (2) 

DNF: y =⎯a⎯b c ∨⎯a b c ∨ a ⎯b ⎯c ∨ a⎯b c ∨ a b c 

KNF: y = ( a ∨ b ∨ c ) ∧ ( a ∨⎯b ∨ c ) ∧ (⎯a ∨⎯b ∨ c) 

7-8

DNF oder KNF aus beliebiger Form 

Um Funktionen aus der DF bzw. KF in die DNF bzw. KNF zu überführen, 

ist der Shannonsche Entwicklungssatz behilflich. 

Entwicklung nach der Variablen x i : 

• die Variable wird in der Funktion auf den Wert 1 gesetzt, 

• der entstehende Term konjunktiv mit x i verknüpft, 

∨ -verknüpft mit: 

• die Variable wird in der Funktion auf den Wert 0 gesetzt und 

• der entstehende Term konjunktiv mit⎯x i verknüpft 

y = f(x f( 1,..., ,..., xn) ) 

= [ xi ∧ f(x 1 ,..., x i-1 1 , 1, , x i+1 

i+1 ,..., 



,..., xn)] )] ∨ [⎯xi ∧ f(x 1 ,..., x i-1 1 , 0, 0, 

x i+1 ,..., xn)] )] 

7-9



7-10 10

y = f(x f( 1,..., ,..., xn) ) [ xi ∧ f(x 1 ,..., x i-1 1 , 1, , x i+1 

y = a⎯b c ∨⎯a⎯b ∨ b c 



Beispiel (1) 

,..., xn)] )] ∨ [⎯xi ∧ f(x 1 ,..., x i-1 1 , 0, , x i+1 ,..., xn)] )] 

i+1 ,..., 

7-11 11

y = f(x f( 1,..., ,..., xn) ) [ xi ∧ f(x 1 ,..., x i-1 1 , 1, , x i+1 



Beispiel (2) 

,..., xn)] )] ∨ [⎯xi ∧ f(x 1 ,..., x i-1 1 , 0, , x i+1 ,..., xn)] )] 

i+1 ,..., 

7-12 12

a b c ∨ a b ∨ b c 

a a 

b c ∨ b c b ∨ b c 

b b b b 



Beispiel (3) 

c c c 1 

c c c c c c c 

c 

1 0 1 0 1 0 1 1 

Nachdem die Funktion nach allen Variablen entwickelt wurde, können die 

Minterme durch Verfolgen der Äste des Baums gefunden werden, die zu 

einer 1 führen. 

7-13 13



7-14 14

Deutung: Normalformen 

Minterm entspricht Zeile der Funktionstabelle mit 

Funktionswert 1 

DNF = disjunktive Verknüpfung aller Minterme 

• Alle Eingangsvariablen in Zeile mit Funktionswert 1 mit ∧ 

verknüpfen 

• Eingangsvariablen mit dem Wert 0 negieren 

Maxterm entspricht Zeile der Funktionstabelle mit 

Funktionswert 0 

KNF = konjunktive Verknüpfung aller Maxterme 

• Alle Eingangsvariablen in Zeile mit Funktionswert 0 mit ∨ 

verknüpfen 

• Eingangsvariablen mit dem Wert 1 negieren 



7-15 15

Beispiel: DNF und KNF 

Um eine Funktion zu beschreiben, reicht die Angabe aller 

Minterme (oder aller Maxterme) aus. 

Nr. c b a y Minterme Maxterme 

0 0 0 0 1 ⎯c ⎯b ⎯a 

1 0 0 1 0 

c ∨ b ∨⎯a 

2 0 1 0 0 

c ∨⎯b ∨ a 

3 0 1 1 1 ⎯c b a 

4 1 0 0 1 c⎯b⎯a 

5 1 0 1 0 

⎯c ∨ b ∨⎯a 

6 1 1 0 0 

⎯c ∨⎯b ∨ a 

7 1 1 1 1 c b a 

DNF: y = (⎯c⎯b⎯a ) ∨ (⎯c b a ) ∨ (c ⎯b ⎯a) ∨ ( c b a ) 

KNF: y = (c ∨ b ∨⎯a ) (c ∨⎯b ∨ a ) (⎯c ∨ b ∨⎯a ) (⎯c ∨⎯b ∨ a) 



7-16 16

DNF/KNF: Kurze Schreibweise 

Verkürzte Schreibweise: 

nur die Indizes (Dualkodierungen der (c, b, a) - 

Belegung) der 1- oder 0-Stellen der Funktion 

Voraussetzung: Eindeutige Reihenfolge der Variablen. 

Beispiel (Reihenfolge der drei Variablen c, b, a) 

y = MINt(0, 3, 4, 7) 

y = MAXt(1, 2, 5, 6) 



7-17 17

Ziele: 



Minimalformen 

„Möglichst kurze“ Boolesche Ausdrücke einer 

Booleschen Funktion 

Technische Realisierung einer Schaltung mit 

möglichst geringen Kosten 

Ähnlich zu Normalformen: 

• Disjunktive Minimalform (DMF) und 

• konjunktive Minimalform (KMF) 

7-18 18

Gegeben: 

Disjunktive Minimalform (DMF) 

• Boolesche Funktion y(x 1,...,x ,...,xn ) 

• Kostenfunktionen ΨUND(k) UND(k) 

und ΨODER(k ODER(k) 

(beschreiben Realisierungskosten einer k-stelligen UND- bzw. 

ODER-Verknüpfung, 

Kosten für Negation einer Variablen vernachlässigt) 

Definition: 

Ein Ausdruck ist in disjunktiver Minimalform (Abk.: DMF), wenn 

er eine Disjunktion von Konjunktionen 

y(x 1,...,x ,...,xn) ) = (L 11 ·... ...· L1k) 1k) 

∨ ... ∨ (L m1 ·... ...· Lmj mj ) 

mit den Literalen Lvw vw ∈ { x 1,..., ,..., xn, , ⎯x1,..., ,..., ⎯xn } darstellt und die 

Realisierungskosten 

Yy = ΨODER(m) ODER(m) 

+ ΨUND(k) UND(k) 

+ ... + ΨUND(j) UND(j) 

minimal sind. 



7-19 19



Beispiel: DMF 

Kostenmaß: Kostenma : Anzahl der auftretenden Gatter 

Es sei Ψ UND (k) = Ψ ODER (k) = k, k: Anzahl Gattereingänge 

Ausdruck 

y 1 = ⎯a b ∨ a⎯b 

ist in disjunktiver Minimalform 

y 2 =⎯a b ∨ a b jedoch nicht, da y 2 auch kürzer durch 

y 2 = b 

ausgedrückt werden kann. 

7-20 20

Konjunktive Minimalform (KMF) 

Definition: 

Ein Ausdruck in konjunktiver Minimalform (Abk.: KMF) 

ist eine Konjunktion von Disjunktionen 

y(x 1,...,x ,...,xn) ) = (L 11 ∨ ... ∨ L1k) 1k) 

· ... · (L m1 ∨... ... ∨ Lmj mit den Literalen Lvw vw ∈ {x 1 ,..., x n ,⎯x1 1 ,...,⎯x ,..., n } derart, dass die 

gesamten Realisierungskosten 

Yy = ΨUND(m) UND(m) 

+ ΨODER(k) ODER(k) 

+ ... + ΨODER(j) ODER(j) 

minimal sind. 



mj ) 

7-21 21



Beispiel: KMF 

Es sei Ψ UND(k) = Ψ ODER(k) = k, k: Anzahl Gattereingänge 

y 1 = (⎯a ∨ b ) ( a ∨ c ) ist in konjunktiver Minimalform, 

y 2 =⎯a (⎯a ∨ c ) ( b ∨ c ) jedoch nicht, 

da y 2 auch kürzer durch 

y 2 =⎯a ( b ∨ c ) 

ausgedrückt werden kann. 

7-22 22

Minimalformen sind nicht eindeutig! 

Es kann mehrere disjunktive und konjunktive 

Minimalformen für die gleiche Funktion geben. 

Beispiel: 

y = a⎯b ∨ b⎯c ∨⎯a c und 

y = a⎯c ∨⎯b c ∨⎯a b 



DMF & KMF 

stellen dieselbe Funktion dar, beides sind disjunktive 

Minimalformen. 

7-23 23

Die Kosten für eine disjunktive und eine konjunktive 

Minimalform derselben Funktion sind im allgemeinen 

unterschiedlich. 

Beispiel: 



Beispiel 

Es sei Ψ UND(k) = Ψ ODER(k) = 2·(k+1). 

y = a b c ∨⎯a⎯b⎯c disjunktive Minimalform 

mit Ψ y = 6 + 8 + 8 = 22 

y = (⎯a ∨ b ) ( a ∨⎯c ) (⎯b ∨ c ) konjunktive Minimalform 

mit Ψ y = 8 + 6 + 6 + 6 = 26 

7-24 24



Anmerkungen 

Das Auffinden einer Minimalform ist insbesondere für Funktionen 

mit einer größeren Anzahl von Variablen keine triviale Aufgabe. 

Oft können nur suboptimale Lösungen unter Verwendung von 

Heuristiken gefunden werden. 

Bei Minimierungsverfahren geht man in zwei Schritten vor: 

Es wird eine Menge von Implikanten bzw. Implikate der 

Funktion y mit einer möglichst geringen Anzahl von 

Literalen gebildet. 

Aus dieser Menge wird eine möglichst geringe Anzahl 

von Implikanten bzw. Implikate herausgesucht, deren 

Disjunktion bzw. Konjuktion die Funktion y ergeben. 

7-25 25

3.1.6 Funktionsdarstellung im Würfelkalkül 

Ein Produktterm K lässt sich auch im sogenannten 

Würfelkalkül beschreiben. 

Ein Würfel C := (c 1, , …, , cn) ) ∈ {0, 1, –} n wird durch den 

Produktterm K wie folgt bestimmt: 

⎧ 0, falls das Literal ⎯xi in K vorkommt 

ci := ⎨ 1, falls das Literal xi in K vorkommt 

⎩ –, falls die Variable xi in K nicht vorkommt 

Es seien die Variablen x 1,...,x 6 gegeben. 

Dem Produktterm K = x 2 ∧ ⎯x3 ∧ ⎯x5 ∧ x6 ist der Würfel 

C = (–,1,0, ,1,0,–,0,1) ,0,1) zugeordnet. 



7-26 26



Würfelkalkül (1) 

Ein n-Tupel (c 1, , …, , cn), ), das an keiner Stelle ein "–“ 

besitzt, beschreibt einen 0-dimensionalen Würfel, also 

einen Punkt. 

Ein n-Tupel, das an m ≤ n Stellen ein "–" besitzt, ist ein 

m-dimensionaler Würfel. 

Der Begriff Würfel lässt sich für n = 3 

= 3 besonders leicht 

veranschaulichen. 

7-27 27

(0,0,0) 




(0,1,1) 

(0,0,1) (–,0,1) 

(0,1, –) 

(0,1,0) 

(–,1,1) 

(0,–,1) (–,–,1) 

(1,–,1) 

(0,–,–) 

(–,0,0) 

(–,1,0) 

(1,0,1) 

(0,0,–) (–,0,–) 

(1,0,–) 

(0,–,0) 

(–,1,–) 

(–,–,0) 

(1,0,0) 

(1,–,–) 

(1,–,0) 

(1,1,1) 

(1,1,–) 

(1,1,0) 

7-28 28




Jeder der acht möglichen Minterme von (x 1, x 2, x 3) 

repräsentiert eine Ecke eines Würfels. 

Zwischen zwei Mintermen (Ecken) wird eine Kante 

gezogen, wenn sie sich genau in einem Literal 

unterscheiden. 

Entsprechend werden die sechs Flächen aus den 

Kanten gebildet. 

Der gesamte Kubus wird durch den Würfel (–, –, –) 

beschrieben. 

7-29 29




Der n-dimensionale Würfel (–,…,–) heißt Universum. 

Jeder Würfel C := (c 1, …, c n), der genau m ≤ n 

Komponenten mit c i = "–" enthält, bildet einen 

m-dimensionalen Unterraum und somit ebenfalls 

einen Würfel. 

Jeder Würfel C := (c 1, …, c n) definiert somit eine Menge 

von Mintermen (seine Ecken). 

Der Würfel, (1,-,1) entspricht z. B. den Mintermen 

x 1 ∧ x 2 ∧ x 3 und x 1 ∧⎯x 2 ∧ x 3 

7-30 30




Funktionsdarstellung im Würfelkalkül: 

Zur Beschreibung einer Funktion y zeichnet man im Universum 

diejenigen Eckpunkte aus, die den Mintermen entsprechen. 

Anwendung des Würfelkalküls: 

Consensus-Verfahren zur Minimierung Boolescher Funktionen. 

Prinzip: 

Spannen Minterme einer Funktion einen größeren Unterraum 

auf, kann dieser als Würfel einfacher dargestellt werden. 

Beispiel: (1,1,1) und (1,0,1) ⇒ (1,-,1) 

7-31 31

Weitere Definitionen 

Ein Würfel A := (a 1, …, a n) enthält („überdeckt“) den Würfel 

B := (b 1, …, b n), in Zeichen: B ⊆ A, 

wenn in jeder Komponente (a i = b i) oder a i = "–" gilt. 

Beispiel: A: (1,-,-) 

B: (1,0,0) A enthält B 

Die Würfelmenge, bzw. der Würfel, C := (C1, …, Cm) ist eine 

Überdeckung eines Würfels A, in Zeichen: A ⊆ C, 

wenn alle Minterme von A durch mindestens einen Würfel 

in C überdeckt werden. 

Da jeder Würfel in der Überdeckung einem Produktterm 

entspricht, repräsentiert eine Überdeckung eine Boolesche 

Funktion als Disjunktion dieser Produktterme. 



7-32 32

f(a,b,c) = a⎯b 



Beispiel 

Würfel (1,0,-) 

enthält (1,0,1) 

Würfelmenge {(1,0,1), (1,0,0)} 

überdeckt {(1,0,-)} 

7-33 33

Weitere Definitionen 

Schnittmenge zweier Würfel: 

Gegeben: zwei Würfel A := (a 1, …, a n) und B := (b 1, …, b n). 

Dann sei der Würfel C = A ∩ B = {c 1,...,c n} mit k ∈ {1,...,n} 

wie folgt definiert: 

Wenn a k = 1 und b k ∈ {1,–} oder 

b k = 1 und a k ∈ {1,–}, dann c k = 1 

Wenn a k = 0 und b k ∈ {0,–} oder 

b k = 0 und a k ∈ {0,–}, dann c k = 0 

Wenn a k = – und b k = –, dann c k = – 

Anderenfalls existiert die Schnittmenge zweier Würfel nicht 



7-34 34

Beispiele als Aufgabe: A ∩ B = ?? 

A: (1,-,1) 

B: (-,1,1) 

⇒ A ∩ B = (1,1,1) 

A: (0,-,1) 

B: (-,-,0) 

⇒ Schnittmenge existiert nicht 



A: (0,-,0) 

B: (-,-,0) 

⇒ A ∩ B = (0,-,0) 

7-35 35

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