Stochastic Sampling als Messprinzip - Holger Nobach - nambis.de

Stochastic Sampling
als Messprinzip
Holger Nobach
Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation
Göttingen
Physikalisches Kolloquium der Universität Göttingen
13.10.2008
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 1

Inhalt
Stochastic Sampling Unregelmäßige Abtastung
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 2

Inhalt
Stochastic Sampling Unregelmäßige Abtastung
gewollt natürlich
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 3

Inhalt
Stochastic Sampling Unregelmäßige Abtastung
gewollt natürlich
Vorteil Nachteil
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 4

, Universität Rostock
– Studium Elektrotechnik, Diplom
– Promotion Messtechnik
Stationen
, Dantec Measurement Technology, Kopenhagen
– DFG-Postdoc-Programm
, TU Darmstadt
– Forschung: Strömungsmesstechnik
– Lehre: Messtechnik, Signale und Systeme
– Habilitation im Fachbereich Maschinenbau
, Cornell University
– Forschung: Strömungsmesstechnik
, Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation, Göttingen
– Forschung: Strömungsmesstechnik, Turbulenz, Windkanal
– Lehre: Optische Messtechnik
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 5

Turbulenzforschung
mikroskopisch
Navier-Stokes-Gleichungen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 6

Turbulenzforschung
mikroskopisch
Navier-Stokes-Gleichungen
1mm
makroskopisch
100m
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 7

Turbulenzforschung
mikroskopisch
Navier-Stokes-Gleichungen
makroskopisch
Turbulenzmodelle
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 8

Turbulenzforschung
mikroskopisch
Navier-Stokes-Gleichungen
Experimentelle Verifikation
, Experiment
, Messtechnik
, Statistische Verfahren
makroskopisch
Turbulenzmodelle
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 9

Re=
;v L
&7000 000
7
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 10

f-Korrelation
Messrichtung
Messpunkte
Messrichtung
Messpunkte
g-Korrelation
Turbulenzspektrum
R~1"4 x
52
x 1
R~1"4 x
52
3
x 2
R~1"4 x
x 1 52
4
x
5
R~exp "
x 3
4
x
5
R~exp "
x 3
~4
8 5"
E "
81 5
3
~4
8 5"
E "
81 5
3
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 11

Anströmung
Hitzdrahtanemometrie
Wärmeabgabe
Heiz- / Fühlerelement
(Draht)
Abströmung
Strom I
Sensor (dünner Draht:
1mm lang 5µm dick)
Stifte (Kontakte und
Halterung für den Draht)
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 12

Sensor Vorverstärker
Anpassung
Fourier-Transformation
äquidistanter
Datensatz
u i (t i )
inverse
Fourier-Transformation
Amplitudendichtespektrum
U(f j )
TP
ADU
Analoges Filter:
- Anti-Aliasing
- Rauschunterdrückung
R(=)=*u(t)u(t+=)+
S(f)=U * U=|U| 2
AD-Umsetzer:
- Diskretisierung
Diskreter Datensatz u i (t i )
- äquidistant abgetastet
- schmalbandiges Rauschen
Autokorrelationsfunktion
R uu (= k )
Fourier-Transformation
inverse
Fourier-Transformation
Leistungsdichtespektrum
S uu (f j )
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 13

Streuteilchen
Empfänger
Laser-Doppler-Anemometrie
Interferenzfeld
Sendelinse
Signalburst
Strahlteiler
Laser
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 14

LDA-Datensatz
Einzelteilchenmessung . zufällig abgetastete Zeitreihe
Unsicherheit der Frequenzschätzung . breitbandiges Rauschen
Korrelation zw. Teilchenrate und Geschwindigkeit . Korrelation zw. Datenrate und Geschwindigkeit
Interferenz des Streulichtes verschiedener Teilchen . Prozessortotzeit
Geschwindigkeit
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 15
Zeit

unregelmäßig abgetasteter
Datensatz
statistische Datenanalyse
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 16

Geschwindigkeit
Direkte Verarbeitung
- Mathematische
Beschreibung des
Signals (z.B. Folge von
Dirac-Impulsen)
- Berücksichtigung der
unregelmäßigen
Abtastung
- Entwicklung geeigneter
Schätzer
Zeit
unregelmäßig abgetasteter
Datensatz
Signalrekonstruktion und
regelmäßige Wiederabtastung
Geschwindigkeit
- Wahl einer geeigneten
Rekonstruktions- bzw.
Interpolationsvorschrift
- Klassische
Datenverarbeitung
Zeit
Transformation in einen dünn
besetzten Datensatz
- Quantisierung der
Abtastzeitpunkte oder
-intervalle
- Berücksichtigung von
Signallücken
- Schätzer aus der
Prozessidentifikation
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 17
Geschwindigkeit
Zeit

, Prinzip der direkten Spektralanalyse , Systematischer Fehler aufgrund der
unregelmäßigen Abtastung
SS4f 5' 1 $ T % T
0
u 4t 5e "2: j f t i$2
= T
N 2$ ! N
ui e
i=1
"2 : jft i$2
E {SS}=S P/ T
N < 2
u
S3 P 4f 5= T
N 2 {$ ! N
u i e
i=1
"2: j f t Fehlerabschätzung:
Korrektur:
2}
N
i$2
"! ui i=1
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 18

, Prinzip der direkten Spektralanalyse , Systematischer Fehler aufgrund der
unregelmäßigen Abtastung
SS4f 5' 1 $ T % T
0
u 4t 5e "2: j f t i$2
= T
N 2$ ! N
ui e
i=1
"2 : jft i$2
E {SS}=S P/ T
N < 2
u
S3 P 4f 5= T
N 2 {$ ! N
u i e
i=1
"2: j f t Fehlerabschätzung:
Korrektur:
2}
N
i$2
"! ui i=1
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 19

LDA-Datensatz
Rekonstruktion und
regelmäßige Abtastung
Korrelationsfunktion
Fourier-Transformation
Spektrum
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 20

LDA-Datensatz
Rekonstruktion und
regelmäßige Abtastung
Korrelationsfunktion
Fourier-Transformation
Spektrum
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 21

, Sample-and-Hold-Rekonstruktion
, lineare Interpolation
, exponentielle Rekonstruktion
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 22

, Spline-Interpolation
, Kalman-Rekonstruktion
, Shannon-Rekonstruktion
, Anpassung einer bandbegrenzten Funktion (POCS)
, fraktale Rekonstruktion
Allen Rekonstruktionen (unabhängig von der Rekonstruktionsvorschrift) gemeinsam:
– Bei hoher Datenrate sind alle Verfahren geeignet, aus dem unregelmäßig
abgetasteten LDA-Datensatz einen regelmäßig abgetasteten Datensatz zu
erzeugen, der die spektralen Eigenschaften des Strömungsprozesses
widerspiegelt.
– Bei geringer Datenrate verändern sich die spektralen Eigenschaften. Der
spektrale Charakter des Rekonstruktionsergebnisses wird direkt und
unabhängig vom zugrundeliegenden Strömungsprozess von der verwendeten
Rekonstruktionsvorschrift und der Datenrate bestimmt.
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 23

Unregelmäßige Abtastung
, Messkette
Prozess
Messgröße
Messgerät
Signal
Verarbeitung
Kenngrößen und -funktionen
Information
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 24

Unregelmäßige Abtastung
, Messkette , Einfluss des
Messgerätes
Prozess
Messgröße
Messgerät
Signal
Verarbeitung
Kenngrößen und -funktionen
Information
Prozesseigenschaften Messgerät
Signaleigenschaften
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 25

1. Analyse des rekonstruierten Datensatzes
LDA-Datensatz
Rekonstruktion
Resampling
Korrelationsund
Spektralanalyse
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 26

2. Abschätzung des Filters
LDA-Datensatz
Rekonstruktion
Resampling
Korrelationsund
Spektralanalyse
t 1
Wahre ACF
E { 3R R 4=5}=MR 4=5
Nach Rekonstruktion
erwartete ACF
= 1
R 4=5
3R R 4=5
t 2
= 2
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 27

3. Korrektur
LDA-Datensatz
Rekonstruktion
Resampling
Korrelationsund
Spektralanalyse
Wahre ACF
E { 3R R 4=5}=MR 4=5
Nach Rekonstruktion
erwartete ACF
Korrigierte ACF
3R 4= 5=M "1 3R R 4= 5
Nach Rekonstruktion
bestimmte ACF
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 28

, Sample-and-Hold-Rekonstruktion
–
–
Rekonstruktionsvorschrift
Interpolationsfilter
E { 3 R R 4= k 5}=e " {
˙n = k R 405/ 4e ˙n 6 = "1 5 2
1"e 2 ˙n 6 = #
! e
9=1
" ˙n = 9 41"e 2 u R 4t 5=u i t i1t0t i /1
5}
˙n min 4k , 956 =
5R 4= 9
– Korrektur
, Proportional-Ein-Punkt-Rekonstruktion (exp., Korrelationskoeffizient, S&H)
– Rekonstruktionsvorschrift
– Interpolationsfilter
3R
3R
R 40 5 für k=0
4= k 5={ 42c/1 5 3 R R 4= k 5"c [ 3 R R 4= k "15/ 3 R R 4= k /15] sonst
0
u R 4t 5=u i f R 4t"t i5 t i1t0t i /1
E { 3 R R4= k5}=R405! f
i ="# R 4"= i5f R 4= k"= i541"e " ˙n 6= 5e " ˙n 4= k"= i5
#
/! 9=1
R4= 95! i=1
min4k ,95
c= e" ˙n6 =
41"e " ˙n 6 = 5 2
f R 4= 9"= i5f R 4= k"= 95 41"e " ˙n 6= 5 2
e " ˙n4= k"2 = i/= 95
– Korrektur erfolgt numerisch durch Lösung des linearen Gleichungssystems
, andere Interpolationen
– prinzipiell auch für andere Interpolationen geeignet
– numerischer Aufwand steigt mit der Anzahl der verwendeten Stützstellen
stark an
– geringer Gewinn gegenüber Sample-and-Hold-Interpolation
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 29

Bestimmung der
Datenrate
LDA-Datensatz
S&H-Rekonstruktion und
regelmäßige Abtastung
Korrelationsfunktion
Filterkorrektur
Fourier-Transformation
Spektrum
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 30

i=12N
j=12N j(i
N
z k=! i =1
N
n k=! i=1
N
!
j =1
j (i
N
!
j=1
j(i
u i u j b k 4t j"t i5
b k4t j"t i5
Slot Correlation
u i
t i
6=
u j
t j
t j "t i /ui u j
-1 0 1 2 3 4 5
1 für 4k"1/256=)6t 04k /1/256=
bk 46t 5={ 0 sonst
AKF
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 31
/1
-1 0 1 2 3 4 5
3R k =z k /n k

S&H-Rekonstruktion und regelmäßige
Abtastung
- Korrektur des Datenratenfilters
- Verarbeitung großer Blöcke durch Kürzen
der Korrelationsfunktion
- Verwendung schneller Algorithmen (FFT)
- kommerzielle Nutzung
Zeitskalen
- Taylor-Zeitmaß
- integrales Zeitmaß
unregelmäßig abgetasteter Datensatz
Modellbasierte Rausch- / Varianzschätzung
Leistungsdichtespektrum
- Continuous Fourier Transform
- Variable Windowing
Slot Correlation
- Local Normalization
- Fuzzy Slotting
- Local Time Estimation
- Wichtungsfaktoren (Transit-Time / Forward-
Backward-Arrival-Time)
- etwas geringere Schätzunsicherheit
- Offline-Auswertung
Räumliche Korrelationsfunktion
- Zeit-Raum-Transformationen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 32

Unregelmäßige Abtastung
, hohe zeitliche Auflösung durch kurze Abtastintervalle
, geringes Datenvolumen durch lange Abtastintervalle
, sehr effizient
, Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen
möglich
Interessante Eigenschaften
auch für andere Anwendungen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 33

Aliasing
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 34

Aliasing
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 35

Aliasing
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 36

Aliasing
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 37

Supersampling
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 38

Stochastic Sampling
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 39

Stochastic Sampling
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 40

Stochastic Sampling
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 41

Quantisierung
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 42

Quantisierung
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 43

Stochastic Sampling
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 44

Stochastic Sampling
hohe Frequenzen niedrige Frequenzen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 45

Stochastic Sampling
Prozess / Signal
Abtastung
Rekonstruktion stat. Eigenschaften
hohe Frequenzen niedrige Frequenzen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 46

Abtastschema
Poisson-Prozess Mindestabstände max. Abstände Jitter
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 47

menschl. Retina
blaue Zapfen
Abtastschema
20µm
Paul R. Martin, Ulrike Grünert, Tricia L. Chan, and Keely Bumsted: Spatial order
in short-wavelength-sensitive cone photoreceptors: a comparative study of the
primate retina. JOSA A, Vol. 17, Issue 3, pp. 557-567
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 48

Anwendungen
, Computer Graphics (Anti Aliasing, Motion Blur, Tiefenschärfe)
, Punktraster (Informationsgewinnung, Visualisierung)
, Suchalgorithmen
, Tomographie
, Signal- und Bildrekonstruktion
, Signal- und Systemidentifikation
, Bilddatenkompression
, Wetter- und Klimavorhersagen
, Populationsuntersuchungen
, Höchstfrequenztechnik
, Astronomie
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 49

Particle Image Velocimetry
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 50

Particle Image Velocimetry
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 51

LDA-Beschleunigungsmessung
Streuteilchen
Empfänger
Interferenzfeld
Sendelinse
Signalburst
Strahlteiler
Laser
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 52

100 µm
6 x=2.5 µm
v=10 m
s
, Hohe Genauigkeit der
momentanen
Teilchengeschwindigkeit
, Akurate Justage der
Optik (Streifensystem)
, Hohes Signal-Rausch-
Verhältnis
Anforderungen
a=2000 m
s 2
, Durchflugzeit
, Mittenfrequenz
, Teilchengeschwindigkeit
9.99210.01 m
s
, Momentanfrequenz
10 µs
4 MHz
3.99624.004MHz
, Relative Frequenzänderung
6f
f =0.1%
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 53

, Kurzzeit-FFT
Methoden
, komplexe FFT (direkte Methode)
, Wavelet
, Modellanpassung (LMS)
, Modellanpassung (Korrelation)
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 54

H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 55

Stochastic Sampling
, hohe Auflösung durch kleine Abtastintervalle
, geringes Datenvolumen durch große Abtastintervalle
, sehr effizient
, Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen
möglich
, Rekonstruktion eingeschränkt möglich
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 56