Stochastic Sampling als Messprinzip - Holger Nobach - nambis.de

Stochastic Sampling 

als Messprinzip 

Ehrenkolloquium 

Frau Prof. Dr.-Ing. habil. Erika Müller 

21.09.2012, Universität Rostock 

Holger Nobach 

Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation 

Göttingen 

H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 1

Turbulenzforschung 

mikroskopisch 

Navier-Stokes-Gleichungen 

1mm 

makroskopisch 

100m 


Turbulenzforschung 

mikroskopisch 

Navier-Stokes-Gleichungen 

Experimentelle Verifikation 

● Experiment 

● Messtechnik 

● Statistische Verfahren 

makroskopisch 

Turbulenzmodelle 


Re= 

v L 

≈7000 000 

 


Anströmung 

Hitzdrahtanemometrie 

Wärmeabgabe 

Heiz- / Fühlerelement 

(Draht) 

Abströmung 

Strom I 

Sensor (dünner Draht: 

1mm lang 5µm dick) 

Stifte (Kontakte und 

Halterung für den Draht) 


Streuteilchen 

Empfänger 

Laser-Doppler-Anemometrie 

Interferenzfeld 

Sendelinse 

Signalburst 

Strahlteiler 

Laser 


LDA-Datensatz 

Messpunkt 

Einzelteilchenmessung zufällig abgetastete Zeitreihe 

Unsicherheit der Frequenzschätzung breitbandiges Rauschen 

Korrelation zw. Teilchenrate und Geschwindigkeit Korrelation zw. Datenrate und Geschwindigkeit 

Interferenz des Streulichtes verschiedener Teilchen Prozessortotzeit 

Geschwindigkeit 

H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 7 

Zeit

unregelmäßig abgetasteter 

Datensatz 

statistische Datenanalyse 



Geschwindigkeitsbias 

Zeit 



Direkte Verarbeitung 

Mathematische 

Beschreibung des 

Signals (z.B. Folge von 

Dirac-Impulsen) 

Berücksichtigung der 

unregelmäßigen 

Abtastung 

Entwicklung geeigneter 

Schätzer 

Zeit 


Datensatz 


● Prinzip der direkten Spektralanalyse ● Systematischer Fehler aufgrund der 

unregelmäßigen Abtastung 

SSf ≝ 1 ∣ T ∫ T 

0 

u t e −2 j f t i∣2 

= T 

N 2∣∑ N 

ui e 

i=1 

−2 jft i∣2 

E {SS}=S P T 

N 2 

u 

S P f = T 

N 2 {∣∑ N 

u i e 

i=1 

−2 j f t Fehlerabschätzung: 

Korrektur: 

2} 

N 

i∣2 

−∑ ui i=1 


● Prinzip der direkten Spektralanalyse ● Systematischer Fehler aufgrund der 

unregelmäßigen Abtastung 

SSf ≝ 1 ∣ T ∫ T 

0 

u t e −2 j f t i∣2 

= T 

N 2∣∑ N 

ui e 

i=1 

−2 jft i∣2 

E {SS}=S P T 

N 2 

u 

S P f = T 

N 2 {∣∑ N 

u i e 

i=1 

−2 j f t Fehlerabschätzung: 

Korrektur: 

2} 

N 

i∣2 

−∑ ui i=1 




Mathematische 






Abtastung 


Schätzer 

Zeit 


Datensatz 

Signalrekonstruktion und 

regelmäßige Wiederabtastung 


Wahl einer geeigneten 

Rekonstruktions- bzw. 

Interpolationsvorschrift 

Klassische 

Datenverarbeitung 

Zeit 


LDA-Datensatz 

Rekonstruktion und 

regelmäßige Abtastung 

Korrelationsfunktion 

Fourier-Transformation 

Spektrum 


LDA-Datensatz 

Rekonstruktion und 

regelmäßige Abtastung 

Korrelationsfunktion 

Fourier-Transformation 

Spektrum 


● Sample-and-Hold-Rekonstruktion 

● lineare Interpolation 

● exponentielle Rekonstruktion 


● Spline-Interpolation 

● Kalman-Rekonstruktion 

● Shannon-Rekonstruktion 

● Anpassung einer bandbegrenzten Funktion (POCS) 

● fraktale Rekonstruktion 

Allen Rekonstruktionen (unabhängig von der Rekonstruktionsvorschrift) gemeinsam: 

– Bei hoher Datenrate sind alle Verfahren geeignet, aus dem unregelmäßig 

abgetasteten LDA-Datensatz einen regelmäßig abgetasteten Datensatz zu 

erzeugen, der die spektralen Eigenschaften des Strömungsprozesses 

widerspiegelt. 

– Bei geringer Datenrate verändern sich die spektralen Eigenschaften. Der 

spektrale Charakter des Rekonstruktionsergebnisses wird direkt und 

unabhängig vom zugrundeliegenden Strömungsprozess von der verwendeten 

Rekonstruktionsvorschrift und der Datenrate bestimmt. 




Mathematische 






Abtastung 


Schätzer 

Zeit 


Datensatz 

Signalrekonstruktion und 

regelmäßige Wiederabtastung 


Wahl einer geeigneten 

Rekonstruktions- bzw. 

Interpolationsvorschrift 

Klassische 

Datenverarbeitung 

Zeit 

Transformation in einen dünn 

besetzten Datensatz 

Quantisierung der 

Abtastzeitpunkte oder 

-intervalle 

Berücksichtigung von 

Signallücken 

Schätzer aus der 

Prozessidentifikation 



Zeit

i=1N 

j=1N j≠i 

N 

z k=∑ i =1 

N 

n k=∑ i=1 

N 

∑ 

j =1 

j ≠i 

N 

∑ 

j=1 

j≠i 

u i u j b k t j−t i 

b kt j−t i 

Slot Correlation 

u i 

t i 

 

u j 

t j 

t j −t i ui u j 

-1 0 1 2 3 4 5 

1 fürk−1/2 ≤ t k 1/2 

bk t ={ 0 sonst 

AKF AKF 


1 

-1 0 1 2 3 4 5 

R k =z k /n k

i=1N 

j=1N j≠i 

N 

z k=∑ i =1 

N 

n k=∑ i=1 

N 

∑ 

j =1 

j ≠i 

N 

∑ 

j=1 

j≠i 

u i u j b k t j−t i 

b kt j−t i 

Slot Correlation 

u i 

t i 

 

u j 

t j 

t j −t i ui u j 

-1 0 1 2 3 4 5 

1 fürk−1/2 ≤ t k 1/2 

bk t ={ 0 sonst 

AKF AKF 


1 

-1 0 1 2 3 4 5 

R k =z k /n k

Unregelmäßige Abtastung 

● hohe zeitliche Auflösung durch kurze Abtastintervalle 

● geringes Datenvolumen durch lange Abtastintervalle 

● sehr effizient 

● Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen 

möglich 

Interessante Eigenschaften 

auch für andere Anwendungen 


Quantisierung 


Aliasing 


Aliasing 

Rekonstruktion 

niedriger Frequenzen✓ 


✗ 

hoher Frequenzen 


Aliasing 


Supersampling 




niedriger Frequenzen✓ 


✗ 

hoher Frequenzen 

Vermeidung von 

Fehlinterpretation 

durch Aliasing 

✓ 




! 


Prozess / Signal 

Abtastung 

Rekonstruktion stat. Eigenschaften 

hohe Frequenzen niedrige Frequenzen 

✓ 



● hohe Auflösung durch kleine Abtastintervalle 

● geringes Datenvolumen durch große Abtastintervalle 

● sehr effizient 

● Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen 

möglich 

● Rekonstruktion nur eingeschränkt möglich 


Abtastschema 

Poisson-Prozess Mindestabstände max. Abstände Jitter 


menschl. Retina 

blaue Zapfen 

Abtastschema 

20µm 

Paul R. Martin, Ulrike Grünert, Tricia L. Chan, and Keely Bumsted: Spatial order 

in short-wavelength-sensitive cone photoreceptors: a comparative study of the 

primate retina. JOSA A, Vol. 17, Issue 3, pp. 557-567 


Unregelmäßige Abtastung 

● Messkette ● Einfluss des 

Messgerätes 

Prozess 

Messgröße 

Messgerät 

Signal 

Verarbeitung 

Kenngrößen und -funktionen 

Information 

Prozesseigenschaften Messgerät 

Signaleigenschaften 


1. Analyse des rekonstruierten Datensatzes 

LDA-Datensatz 


Resampling 

Korrelationsund 

Spektralanalyse 


2. Abschätzung des Filters 

LDA-Datensatz 


Resampling 



t 1 

Wahre ACF 

E { R R }=MR 

Nach Rekonstruktion 

erwartete ACF 

1 

R 

R R 

t 2 

2 


3. Korrektur 

LDA-Datensatz 


Resampling 



Wahre ACF 

E { R R }=MR 


erwartete ACF 

Korrigierte ACF 

R =M −1 R R 


bestimmte ACF 


● Sample-and-Hold-Rekonstruktion 

– 

– 

Rekonstruktionsvorschrift 

Interpolationsfilter 

E { R R k }=e − { 

˙n k R 0 e ˙n −1 2 

1−e 2 ˙n ∞ 

∑ e 

=1 

− ˙n 1−e 2 u R t =u i t itt i 1 

} 

˙n min k , 

R 

– Korrektur 

● Proportional-Ein-Punkt-Rekonstruktion (exp., Korrelationskoeffizient, S&H) 

– Rekonstruktionsvorschrift 

– Interpolationsfilter 

R 

R 

R 0 f ü r k=0 

k ={ 2c1 R R k −c [ R R k −1 R R k 1] sonst 

0 

u R t =u i f R t−t i t itt i 1 

E { R R k}=R0∑ f 

i =−∞ R − if R k− i1−e − ˙n e − ˙n k− i 

∞ 

∑=1 R ∑ i=1 

min k , 

c= e− ˙n 

1−e − ˙n 2 

f R − if R k− 1−e − ˙n 2 

e − ˙n k−2 i 

– Korrektur erfolgt numerisch durch Lösung des linearen Gleichungssystems 

● andere Interpolationen 

– prinzipiell auch für andere Interpolationen geeignet 

– numerischer Aufwand steigt mit der Anzahl der verwendeten Stützstellen stark 

an 

– geringer Gewinn gegenüber Sample-and-Hold-Interpolation

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