Stochastic Sampling als Messprinzip - Holger Nobach - nambis.de
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<strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong><br />
<strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong><br />
Ehrenkolloquium<br />
Frau Prof. Dr.-Ing. habil. Erika Müller<br />
21.09.2012, Universität Rostock<br />
<strong>Holger</strong> <strong>Nobach</strong><br />
Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation<br />
Göttingen<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 1
Turbulenzforschung<br />
mikroskopisch<br />
Navier-Stokes-Gleichungen<br />
1mm<br />
makroskopisch<br />
100m<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 2
Turbulenzforschung<br />
mikroskopisch<br />
Navier-Stokes-Gleichungen<br />
Experimentelle Verifikation<br />
● Experiment<br />
● Messtechnik<br />
● Statistische Verfahren<br />
makroskopisch<br />
Turbulenzmo<strong>de</strong>lle<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 3
Re=<br />
v L<br />
≈7000 000<br />
<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 4
Anströmung<br />
Hitzdrahtanemometrie<br />
Wärmeabgabe<br />
Heiz- / Fühlerelement<br />
(Draht)<br />
Abströmung<br />
Strom I<br />
Sensor (dünner Draht:<br />
1mm lang 5µm dick)<br />
Stifte (Kontakte und<br />
Halterung für <strong>de</strong>n Draht)<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 5
Streuteilchen<br />
Empfänger<br />
Laser-Doppler-Anemometrie<br />
Interferenzfeld<br />
Sen<strong>de</strong>linse<br />
Signalburst<br />
Strahlteiler<br />
Laser<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 6
LDA-Datensatz<br />
Messpunkt<br />
Einzelteilchenmessung zufällig abgetastete Zeitreihe<br />
Unsicherheit <strong>de</strong>r Frequenzschätzung breitbandiges Rauschen<br />
Korrelation zw. Teilchenrate und Geschwindigkeit Korrelation zw. Datenrate und Geschwindigkeit<br />
Interferenz <strong>de</strong>s Streulichtes verschie<strong>de</strong>ner Teilchen Prozessortotzeit<br />
Geschwindigkeit<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 7<br />
Zeit
unregelmäßig abgetasteter<br />
Datensatz<br />
statistische Datenanalyse<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 8
Geschwindigkeit<br />
Geschwindigkeitsbias<br />
Zeit<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 9
Geschwindigkeit<br />
Direkte Verarbeitung<br />
Mathematische<br />
Beschreibung <strong>de</strong>s<br />
Sign<strong>als</strong> (z.B. Folge von<br />
Dirac-Impulsen)<br />
Berücksichtigung <strong>de</strong>r<br />
unregelmäßigen<br />
Abtastung<br />
Entwicklung geeigneter<br />
Schätzer<br />
Zeit<br />
unregelmäßig abgetasteter<br />
Datensatz<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 10
● Prinzip <strong>de</strong>r direkten Spektralanalyse ● Systematischer Fehler aufgrund <strong>de</strong>r<br />
unregelmäßigen Abtastung<br />
SSf ≝ 1 ∣ T ∫ T<br />
0<br />
u t e −2 j f t i∣2<br />
= T<br />
N 2∣∑ N<br />
ui e<br />
i=1<br />
−2 jft i∣2<br />
E {SS}=S P T<br />
N 2<br />
u<br />
S P f = T<br />
N 2 {∣∑ N<br />
u i e<br />
i=1<br />
−2 j f t Fehlerabschätzung:<br />
Korrektur:<br />
2}<br />
N<br />
i∣2<br />
−∑ ui i=1<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 11
● Prinzip <strong>de</strong>r direkten Spektralanalyse ● Systematischer Fehler aufgrund <strong>de</strong>r<br />
unregelmäßigen Abtastung<br />
SSf ≝ 1 ∣ T ∫ T<br />
0<br />
u t e −2 j f t i∣2<br />
= T<br />
N 2∣∑ N<br />
ui e<br />
i=1<br />
−2 jft i∣2<br />
E {SS}=S P T<br />
N 2<br />
u<br />
S P f = T<br />
N 2 {∣∑ N<br />
u i e<br />
i=1<br />
−2 j f t Fehlerabschätzung:<br />
Korrektur:<br />
2}<br />
N<br />
i∣2<br />
−∑ ui i=1<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 12
Geschwindigkeit<br />
Direkte Verarbeitung<br />
Mathematische<br />
Beschreibung <strong>de</strong>s<br />
Sign<strong>als</strong> (z.B. Folge von<br />
Dirac-Impulsen)<br />
Berücksichtigung <strong>de</strong>r<br />
unregelmäßigen<br />
Abtastung<br />
Entwicklung geeigneter<br />
Schätzer<br />
Zeit<br />
unregelmäßig abgetasteter<br />
Datensatz<br />
Signalrekonstruktion und<br />
regelmäßige Wie<strong>de</strong>rabtastung<br />
Geschwindigkeit<br />
Wahl einer geeigneten<br />
Rekonstruktions- bzw.<br />
Interpolationsvorschrift<br />
Klassische<br />
Datenverarbeitung<br />
Zeit<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 13
LDA-Datensatz<br />
Rekonstruktion und<br />
regelmäßige Abtastung<br />
Korrelationsfunktion<br />
Fourier-Transformation<br />
Spektrum<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 14
LDA-Datensatz<br />
Rekonstruktion und<br />
regelmäßige Abtastung<br />
Korrelationsfunktion<br />
Fourier-Transformation<br />
Spektrum<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 15
● Sample-and-Hold-Rekonstruktion<br />
● lineare Interpolation<br />
● exponentielle Rekonstruktion<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 16
● Spline-Interpolation<br />
● Kalman-Rekonstruktion<br />
● Shannon-Rekonstruktion<br />
● Anpassung einer bandbegrenzten Funktion (POCS)<br />
● fraktale Rekonstruktion<br />
Allen Rekonstruktionen (unabhängig von <strong>de</strong>r Rekonstruktionsvorschrift) gemeinsam:<br />
– Bei hoher Datenrate sind alle Verfahren geeignet, aus <strong>de</strong>m unregelmäßig<br />
abgetasteten LDA-Datensatz einen regelmäßig abgetasteten Datensatz zu<br />
erzeugen, <strong>de</strong>r die spektralen Eigenschaften <strong>de</strong>s Strömungsprozesses<br />
wi<strong>de</strong>rspiegelt.<br />
– Bei geringer Datenrate verän<strong>de</strong>rn sich die spektralen Eigenschaften. Der<br />
spektrale Charakter <strong>de</strong>s Rekonstruktionsergebnisses wird direkt und<br />
unabhängig vom zugrun<strong>de</strong>liegen<strong>de</strong>n Strömungsprozess von <strong>de</strong>r verwen<strong>de</strong>ten<br />
Rekonstruktionsvorschrift und <strong>de</strong>r Datenrate bestimmt.<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 17
Geschwindigkeit<br />
Direkte Verarbeitung<br />
Mathematische<br />
Beschreibung <strong>de</strong>s<br />
Sign<strong>als</strong> (z.B. Folge von<br />
Dirac-Impulsen)<br />
Berücksichtigung <strong>de</strong>r<br />
unregelmäßigen<br />
Abtastung<br />
Entwicklung geeigneter<br />
Schätzer<br />
Zeit<br />
unregelmäßig abgetasteter<br />
Datensatz<br />
Signalrekonstruktion und<br />
regelmäßige Wie<strong>de</strong>rabtastung<br />
Geschwindigkeit<br />
Wahl einer geeigneten<br />
Rekonstruktions- bzw.<br />
Interpolationsvorschrift<br />
Klassische<br />
Datenverarbeitung<br />
Zeit<br />
Transformation in einen dünn<br />
besetzten Datensatz<br />
Quantisierung <strong>de</strong>r<br />
Abtastzeitpunkte o<strong>de</strong>r<br />
-intervalle<br />
Berücksichtigung von<br />
Signallücken<br />
Schätzer aus <strong>de</strong>r<br />
Prozessi<strong>de</strong>ntifikation<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 18<br />
Geschwindigkeit<br />
Zeit
i=1N<br />
j=1N j≠i<br />
N<br />
z k=∑ i =1<br />
N<br />
n k=∑ i=1<br />
N<br />
∑<br />
j =1<br />
j ≠i<br />
N<br />
∑<br />
j=1<br />
j≠i<br />
u i u j b k t j−t i<br />
b kt j−t i<br />
Slot Correlation<br />
u i<br />
t i<br />
<br />
u j<br />
t j<br />
t j −t i ui u j<br />
-1 0 1 2 3 4 5<br />
1 fürk−1/2 ≤ t k 1/2 <br />
bk t ={ 0 sonst<br />
AKF AKF<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 19<br />
1<br />
-1 0 1 2 3 4 5<br />
R k =z k /n k
i=1N<br />
j=1N j≠i<br />
N<br />
z k=∑ i =1<br />
N<br />
n k=∑ i=1<br />
N<br />
∑<br />
j =1<br />
j ≠i<br />
N<br />
∑<br />
j=1<br />
j≠i<br />
u i u j b k t j−t i<br />
b kt j−t i<br />
Slot Correlation<br />
u i<br />
t i<br />
<br />
u j<br />
t j<br />
t j −t i ui u j<br />
-1 0 1 2 3 4 5<br />
1 fürk−1/2 ≤ t k 1/2 <br />
bk t ={ 0 sonst<br />
AKF AKF<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 20<br />
1<br />
-1 0 1 2 3 4 5<br />
R k =z k /n k
Unregelmäßige Abtastung<br />
● hohe zeitliche Auflösung durch kurze Abtastintervalle<br />
● geringes Datenvolumen durch lange Abtastintervalle<br />
● sehr effizient<br />
● Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen<br />
möglich<br />
Interessante Eigenschaften<br />
auch für an<strong>de</strong>re Anwendungen<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 21
Quantisierung<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 22
Aliasing<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 23
Aliasing<br />
Rekonstruktion<br />
niedriger Frequenzen✓<br />
Rekonstruktion<br />
✗<br />
hoher Frequenzen<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 24
Aliasing<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 25
Supersampling<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 26
<strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong><br />
Rekonstruktion<br />
niedriger Frequenzen✓<br />
Rekonstruktion<br />
✗<br />
hoher Frequenzen<br />
Vermeidung von<br />
Fehlinterpretation<br />
durch Aliasing<br />
✓<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 27
<strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong><br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 28
!<br />
<strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong><br />
Prozess / Signal<br />
Abtastung<br />
Rekonstruktion stat. Eigenschaften<br />
hohe Frequenzen niedrige Frequenzen<br />
✓<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 29
<strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong><br />
● hohe Auflösung durch kleine Abtastintervalle<br />
● geringes Datenvolumen durch große Abtastintervalle<br />
● sehr effizient<br />
● Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen<br />
möglich<br />
● Rekonstruktion nur eingeschränkt möglich<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 30
Abtastschema<br />
Poisson-Prozess Min<strong>de</strong>stabstän<strong>de</strong> max. Abstän<strong>de</strong> Jitter<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 31
menschl. Retina<br />
blaue Zapfen<br />
Abtastschema<br />
20µm<br />
Paul R. Martin, Ulrike Grünert, Tricia L. Chan, and Keely Bumsted: Spatial or<strong>de</strong>r<br />
in short-wavelength-sensitive cone photoreceptors: a comparative study of the<br />
primate retina. JOSA A, Vol. 17, Issue 3, pp. 557-567<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 32
Unregelmäßige Abtastung<br />
● Messkette ● Einfluss <strong>de</strong>s<br />
Messgerätes<br />
Prozess<br />
Messgröße<br />
Messgerät<br />
Signal<br />
Verarbeitung<br />
Kenngrößen und -funktionen<br />
Information<br />
Prozesseigenschaften Messgerät<br />
Signaleigenschaften<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 33
1. Analyse <strong>de</strong>s rekonstruierten Datensatzes<br />
LDA-Datensatz<br />
Rekonstruktion<br />
Resampling<br />
Korrelationsund<br />
Spektralanalyse<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 34
2. Abschätzung <strong>de</strong>s Filters<br />
LDA-Datensatz<br />
Rekonstruktion<br />
Resampling<br />
Korrelationsund<br />
Spektralanalyse<br />
t 1<br />
Wahre ACF<br />
E { R R }=MR <br />
Nach Rekonstruktion<br />
erwartete ACF<br />
1<br />
R <br />
R R <br />
t 2<br />
2<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 35
3. Korrektur<br />
LDA-Datensatz<br />
Rekonstruktion<br />
Resampling<br />
Korrelationsund<br />
Spektralanalyse<br />
Wahre ACF<br />
E { R R }=MR <br />
Nach Rekonstruktion<br />
erwartete ACF<br />
Korrigierte ACF<br />
R =M −1 R R <br />
Nach Rekonstruktion<br />
bestimmte ACF<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 36
● Sample-and-Hold-Rekonstruktion<br />
–<br />
–<br />
Rekonstruktionsvorschrift<br />
Interpolationsfilter<br />
E { R R k }=e − {<br />
˙n k R 0 e ˙n −1 2<br />
1−e 2 ˙n ∞<br />
∑ e<br />
=1<br />
− ˙n 1−e 2 u R t =u i t itt i 1<br />
}<br />
˙n min k , <br />
R <br />
– Korrektur<br />
● Proportional-Ein-Punkt-Rekonstruktion (exp., Korrelationskoeffizient, S&H)<br />
– Rekonstruktionsvorschrift<br />
– Interpolationsfilter<br />
R<br />
R<br />
R 0 f ü r k=0<br />
k ={ 2c1 R R k −c [ R R k −1 R R k 1] sonst<br />
0<br />
u R t =u i f R t−t i t itt i 1<br />
E { R R k}=R0∑ f<br />
i =−∞ R − if R k− i1−e − ˙n e − ˙n k− i<br />
∞<br />
∑=1 R ∑ i=1<br />
min k ,<br />
c= e− ˙n <br />
1−e − ˙n 2<br />
f R − if R k− 1−e − ˙n 2<br />
e − ˙n k−2 i <br />
– Korrektur erfolgt numerisch durch Lösung <strong>de</strong>s linearen Gleichungssystems<br />
● an<strong>de</strong>re Interpolationen<br />
– prinzipiell auch für an<strong>de</strong>re Interpolationen geeignet<br />
– numerischer Aufwand steigt mit <strong>de</strong>r Anzahl <strong>de</strong>r verwen<strong>de</strong>ten Stützstellen stark<br />
an<br />
– geringer Gewinn gegenüber Sample-and-Hold-Interpolation<br />
H. <strong>Nobach</strong>: <strong>Stochastic</strong> <strong>Sampling</strong> <strong>als</strong> <strong>Messprinzip</strong> 37