Digitale Signalübertragung – 6. Übung

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Institut für Nachrichtentechnik
Vodafone Stiftungslehrstuhl für
Mobile Nachrichtensysteme
Prof. Dr.-Ing. G. Fettweis
Digitale Signalübertragung – 6. Übung
6.1 16-QAM Übertragungssystem (1)
Gegeben sei das in Abbildung 1 dargestellt 16-QAM Übertragungssystem.
2 cos(2 f t)
Binäre
Daten
c
c
S/P
fg
2 sin(2 f t)
1
ld(M)
1
2T
Idealer TP
Symboltakt
Mapper
(b) Empfänger
k
(t-kT)
fg
(a) Sender
1
Demapper ld(M)
1
2T
Idealer TP
P/S
I(t)
Q(t)
2 cos(2 f t)
Binäre
Daten
c
2 sin(2 f t)
Abbildung 1: 16-QAM Übertragungssystem
c
1000 1010
1001 1011
-3
-1
1101 1111
1100 1110
s( t)
Q
3
1
1
-1
-3
0010 0000
0011 0001
3
0111 0101
0110 0100
(c) I/Q-Diagramm
a) Erläutern Sie die Aufgaben der einzelnen Baugruppen des gegebenen Blockschaltbildes.
b) Folgende periodische Binärfolge wird gesendet:
0101 0001 1001 1101 0101 ...
Skizzieren Sie hierfür den Verlauf von I(t) und Q(t) am Ausgang des idealen Tiefpasses
im Sender.
c) Berechnen Sie das Amplitudendichtespektrum U(f) der komplexen Einhüllenden
u(t) = I(t)+jQ(t).
d) Wie lautet das Sendesignals(t)? Skizzieren Sie das AmplitudendichtsspektrumS(f)!
1
I

e) Welche Abtastfolge erhält man am Ausgang des idealen TP im Empfänger, wenn
man nur das obere bzw. das untere Seitenband des Sendesignals s(t) übertragen
würde?
Lösungsweg:
a) Sender: Das binäre Eingangssignal wird durch den Seriell-Parallel-Wandler (S/P-
Wandler) in Wörtern mit je ld(M) Symbole umgewandelt. Diese Wörter werden
im Mapper einem Punkt im I/Q-Diagramm (engl. constellation diagram) zugeordnet,
siehe Abbildung 1(c). Am Ausgang des Mappers erhalten wir die I(k)- und
Q(k)-Werte für das Wort (z. B. 0101 führt zu I(k) = 3 und Q(k) = −1). Die
Elemente I(k) bzw. Q(k) der I- und Q-Folge wichten anschließend jeweils die Elemente
(Dirac-Impulse) des Dirac-Kamms. Durch den nachfolgenden Tiefpass (TP)
werden die gewichteten Dirac-Impulse in gewichtete Sinc-Funktionen I(t) bzw. Q(t)
umgewandelt (Impulsformung). Das I(t)-Signal wird nun mit einem Kosinussignal
der Frequenz fc und das Q(t)-Signal mit einem Sinussignal der Frequenz fc hoch
gemischt. Anschließend werden beide Signal addditiv zusammengefasst, womit wir
das Sendesignal s(t) erhalten:
s(t) = I(k)
k
sin2πfg(t−kT)
√
2cos(2πfct)
2πfg(t−kT)
I(t)
− Q(k)
k
sin2πfg(t−kT)
√
2sin(2πfct)
2πfg(t−kT)
Q(t)
Empfänger: Das empfangene Signal s(t) = s(t), wir gehen von einer störungsfreien
Übertragung aus, wird jeweils an den I- und Q-Pfad weitergeleitet. In dem I-Pfad
wird das emfangene Signal mit einem Kosinussignal der Frequenz fc multipliziert
und anschließend mit dem idealen Tiefpass (TP) das übertragene Signal I(t) im
Basisband heraus gefiltert. Durch die nochmalige Multiplikation des Empfangssignal
s(t) mit dem Kosinussignal der Frequenz fc erhalten wir:
√
I(t) = TPfg I(t) 2cos(2πfct)cos(2πfct)−Q(t) √ 2sin(2πfct)cos(2πfct)
√
2
= I(t) cos(2π(fc −fc)t)
2
cos(0)=1
√
2
−Q(t) sin(2π(fc −fc)t)
2
sin(0)=0
√
2
= I(t)
2
+ cos(2π(fc ✭✭✭✭✭✭✭✭✭
+fc)t)
entfernt durch TP
2
+ ✭✭✭✭✭✭✭✭✭
sin(2π(fc +fc)t)
entfernt durch TP
(1)

k 0 1 2 3 4
xb 0101 0001 1001 1101 0101 ...
xh 5 1 9 d 5
I(k) 3 3 -3 -3 3
Q(k) -1 1 1 -1 -1
Tabelle 1: periodische Binärfolge
Equivalent wird im Q-Pfad verfahren. Beide Signale werden anschließend mit dem
Symboltakt des Signals zeitlich diskretisiert. Mit den Quantisieren findet anschließend
eine wertemäßge Diskretisierung statt. Beide diskreten Werte I(k) und Q(k)
werden dem Demapper zugeführt, welche das übertragene Wort ermittelt. Dieses
Wort wird abschließend mit dem Parallel-Seriell-Wandler (P/S-Wandler) in ein Binärsignal
umgewandelt.
b) In Tabelle 1 ist die Binärefolge xb und die daraus folgenden hexadezimalen Werte
sowie I(k) und Q(k) angegeben.
Entsprechend der Beschreibung in a) erhalten wir für den I-Pfad Dirac-Signale der
Höhe 3 oder -3, siehe Abbildung 2(a). In Abbildung 2(b) ist die Umwandlung der
Dirac-Impulse in Sinc-Impulse durch den Idealen Tiefpass dargestellt:
Ik(t) = I(k)sinc(2πfg(t−kT)).
Fünf solcher Sinc-Signale sind in Abbildung 2(b) zu sehen.
Summiert man nun alleIk(t) für−∞ < k < ∞, so erhält man für die periodische Binärfolge
das periodische Signal I(t). Dieses Signal stellt ein um ϕ0 = π/4 verschobenes
Kosinussignal mit der Frequenz f = 1 dar. Den maximale Amplitudenwert er-
4T
halten wir mit √ 2|Q(k)|, denn für den Kosinus bei n·π/4 gilt: cos(n·π/4) = ±1/ √ 2.
I(t) = 3 √
2πt
2cos
4T
π
−
4
Equivalent erhalten wir für Q(t)
Q(t) = 1 √
2πt
2sin
4T
π
−
4
deren Signalverlauf ebenfalls in Abbildung 2 dargestellt ist.
Die Phasenverschiebung ϕ0 ist für beide Signale gleich und kann daher für die nachfolgenden
Betrachtungen vernachlässigt werden.
3

4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−2
−1
0
1
2
3
4
I(t)
Q(t)
I δ (t)
5 t/T 6
(a) gewichteter Dirac-Kamm I δ (t) (vor Tiefpass) sowie I(t) und Q(t)
−2
−1
0
1
2
3
4
I0(t)
I1(t)
I2(t)
I3(t)
I4(t)
I(t)
Q(t)
5 t/T 6
(b) gewichtete Sinc-Signale Ik(t) (nach Tiefpass) sowie I(t) und Q(t)
Abbildung 2: Signale I(t) und Q(t)
4

c)
d)
u(t) = I(t)+jQ(t)
= 3 √
πt
2cos
2T
= 3√2 j e
2
πt
2T +e
u(t) = 4√2 2
◦
|
•
U(f) = 2 √
2δ f − 1
4T
+j √
πt
2sin
πt
−j 2T
+✁✁j
πt
ej 2T + 2√2 πt
e−j 2T
2
√
2T
2
2 ✁✁j
j e πt πt
−j 2T −e 2T
+ √
2δ f + 1
4T
I(t)+jQ(t) √
2πfct
s(t) = ℜ 2e = I(t) √ 2cos(2πfct)−Q(t) √ 2sin(2πfct)
πt
πt
= 6cos cos(2πfct)−2sin sin(2πfct)
2T 2T
= 3 cos 2πfc − π
t +cos 2πfc +
2T
π
t
2T
− cos 2πfc − π
t −cos 2πfc +
2T
π
t
2T
s(t) = 4cos 2πfc + π
t +2cos 2πfc −
2T
π
t
2T
◦
|
•
S(f) = 4δ f + 1
4T
+2δ f − 1
4T
e) Wird nur ein Seitenband übertragen, so empfängt man am Eingang des Empfängers
nur das Signal
2πfc s(t) = sOSB(t) = 4cos +π/(2T)
t bzw.
2πfc s(t) = sUSB(t) = 2cos +π/(2T)
t .
Werden diese Signale nun entsprechend der Beschreibung in a) verarbeitet, so erhalten
wir entsprechend (1) für die Übertragung des oberen Seitenbands:
sOSB(t) √ TP
2cos(2πfct) −→ 2 √
πt
2cos =
2T
IOSB(t)
sOSB(t)(− √ 2)sin(2πfct)
TP
−→ 2 √ 2sin
5
πt
=
2T
QOSB(t)

(a) oberes Seitenband
k 0 1 2 3 4
I(k) 3 3 -3 -3 3
IOSB(t) 2 2 -2 -2 2
Q(k) -1 1 1 -1 -1
QOSB(t) -2 2 2 -2 -2
(b) unteres Seitenband
k 0 1 2 3 4
I(k) 3 3 -3 -3 3
IUSB(t) 1 1 -1 -1 1
Q(k) -1 1 1 -1 -1
QUSB(t) -1 1 1 -1 -1
Tabelle 2: Signalfolgen bei Übertragung nur eines Seitenbands
sowie für die Übertragung des unteren Seitenbands:
sOSB(t) √ TP √
πt
2cos(2πfct) −→ 2cos =
2T
IUSB(t)
sOSB(t)(− √ TP √
πt
2)sin(2πfct) −→ 2sin =
2T
QUSB(t).
Veranschaulicht man die gewonnenen Signale (mit der Phasenverschiebung ϕ0 =
π/4) im Diagramm, wie in Abbildung 3 gezeigt, so erhält man als Empfangsignale
die in Tabelle 2 angegebenen Folgen.
6.2 2-FSK mit Phasensprüngen (1)
In dieser Aufgabe soll eine 2-FSK Modulation mit Phasensprüngen an den Symbolgrenzen
betrachtet werden. Abbildung 4 zeigt das Modell dafür, wobei v(t) eine Zufallsfunktion
sei und die Anfangsphasen ϕ1 und ϕ2 gleichverteilt sind.
Berechnen Sie hierfür das Leistungsdichtespektrum Φss(f). Gehen Sie dabei folgendermaßen
vor:
a) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion φss(τ) von s(t).
b) Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum Φvv(f).
c) Berechnen Sie die Leistungsdichtespektren von Φs1s1(f) und Φs2s2(f).
d) Berechnen Sie abschließend das Leistungsdichtespektrum Φss(f) und die Leistung
des gesendeten Signals s(t).
Lösungsweg:
a) Unter der Annahme, dass die Funktionen v(t), s1(t) und s2(t) unkorreliert sind, gilt
für die AKF des 2-FSK-Signals
φss(t,t+τ) = E[s(t)s(t+τ)]
= E[v(t)v(t+τ)]E[s1(t)s1(t+τ)]+
E[v(t)(1−v(t+τ))]E[s1(t)]E[s2(t+τ)]+
E[(1−v(t))v(t+τ)]E[s2(t)]E[s1(t+τ)]+
E[(1−v(t))(1−v(t+τ))]E[s2(t)s2(t+τ)].
6

4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−1
−2
−3
−4
−2
−2
−1
−1
s1(t) = Acos(2πf1t+ϕ1)
s2(t) = Acos(2πf2t+ϕ2)
4
3
2
1
0
0
0
1
(a) oberes Seitenband
1
(b) unteres Seitenband
2
2
3
3
4
4
IOSB(t)
QOSB(t)
I(t)
Q(t)
5 t/T 6
IUSB(t)
QUSB(t)
I(t)
Q(t)
5 t/T 6
Abbildung 3: Übertragung nur eines Seitenbandes
s(t) = v(t)s1(t)+(1−v(t))s2(t)
(a) Grundmodell
v(t)
1
0
d1 = 0
d2 = 1
P(d1) = 1/2
P(d2) = 1/2
T 2T t
(b) Zufallsfunktion
Abbildung 4: Modell einer 2-FSK Modulation mit Phasensprüngen
7

Die beiden Binärsymbole d(k) ∈ {0,1} treten gleichwahrscheinlich auf (P(d1) =
P(d2) = 1/2). Somit haben die Schaltfunktion v(t) und ihr Komplement 1 − v(t)
gleiche statistische Eigenschaften und es gilt
φvv(t,t+τ) = φvv(τ) = E[v(t)v(t+τ)] = E[(1−v(t))(1−v(t+τ))].
Für die Oszillatorsignale s1(t) und s2(t) wird vorausgesetzt, dass die Anfangsphasen
ϕ1 und ϕ2 gleichverteilt sind
p(ϕm) = 1
2π
0 ≤ ϕm < 2π m = 1, 2.
Daraus folgt für die Mittelwerte der Oszillatorsignale
E[sm(t)] = 0 m = 1, 2.
Die Autokorrelationsfunktionen der Signale sm(t) lauten damit:
φsmsm(τ) = E[sm(t)sm(t+τ)]
= E[Acos(2πfmt+ϕm)·Acos(2πfm(t+τ)+ϕm)]
= E[A 2 /2 cos(2πfmτ)+cos(2πfm(2t+τ)+2ϕm) ]
= A2
2
cos(2πfmτ)+E[cos(2πfm(2t+τ)+2ϕm)]
=0, da ϕm gleichverteilt ist
= A2
2 cos(2πfmτ) m = 1, 2
Für die AKF des 2-FSK-Signals s(t) ergibt sich damit
φss(t,t+τ) = φss(τ) = φvv(τ)[φs1s1(τ)+φs2s2(τ)]
= A2
2 φvv(τ)[cos(2πf1τ)+cos(2πf2τ)]
b) Das Leistungsdichtespektrum Φvv(f) einer unipolaren, binären Impulsfolge lautet
Φvv(f) = T
4 sinc2 (πfT)+ 1
4 δ(f).
Dieses Spektrum wurde in der Vorlesung abgeleitet und ist im Script zur Vorlesung
(Kapitel „Leistungsspektrum zufälliger Impulsfolgen“) zu finden.
c) Die Leistungsdichtespektren Φs1s1(f) und Φs2s2(f) berechnen sich durch Fouriertransformation
der Autokorrelationfunktion φsmsm(τ) zu
Φsmsm(f) = A2
2 F{cos(2πfmτ)} = A2
4 [δ(f +fm)+δ(f −fm)] m = 1, 2.
d) Die Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion φss(τ) aus Teilaufgabe a)
liefert die Beziehung
Φss(f) = Φvv(f)∗[Φs1s1(f)+Φs2s2(f)].
8

Durch Einsetzen der Leistungsdichtespektren aus den Teilaufgaben b) und c) erhalten
wir das Endergebnis
Φss(f) = A2 T
16
sinc 2 π(f +f1)T +sinc 2 (π(f −f1)T +
sinc 2 π(f +f2)T +sinc 2 π(f −f2)T
+
+ A2
16
δ(f +f1)+δ(f −f1)+δ(f +f2)+δ(f −f2)
9
.