Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 75 Ist ! x = ! v0 + rj ! vj , so ergibt sich ! b = A ! x = A ( ! v0 + rj ! vj ) = A ! v0 + rj A ! vj : Daraus folgt A ! vj = 0; das heißt ! vj (j = 1; 2; : : : ; n k) sind Lösungen des homogenen Gleichungssystem A ! x = ! 0 : Bemerkungen: 1. Ist m = n (A quadratisch), so ist det A = ( 1) p a11 a22 ann; wobei p = Anzahl der Zeilen–(Spalten–)vertauschungen. 2. Eine Variante des Gaußschen Algorithmus ist der Gauß–Jordan– Algorithmus: Durch Zeilenmultiplikation werden die Diagonalelemente ajj zu 1 gemacht. Auch die Matrixelemente in der Spalte oberhalb ajj werden zu 0 gemacht. =) „Diagonalmatrix“ 8.6 Eigenwerte und Eigenvektoren In diesem Kapitel sei A stets eine quadratische Matrix. Gesucht ist Zahl und Vektor ! x mit A ! x = ! x ; das heißt ! x und A ! x haben selbe Richtung. Da ! x = ! 0 immer Lösung, nur ! x 6= ! 0 interessant.
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 76 De…nition 8.23. (EW, EV) Eine Zahl , zu der ein Vektor ! x 6= ! 0 mit A ! x = ! x existiert, heißt Eigenwert (EW) von A. ! x heißt dann Eigenvektor (EV) von A. Bemerkung: Ist ! x EV zum EW , so auch r ! x für alle r 2 R n f0g : A ! x = ! x = (E ! x ) = ( E) ! x () (A E) ! x = ! 0 ; homogenes Gleichungssystem mit Matrix (A E) : Eindeutig lösbar (und zwar mit ! x = ! 0 ) () det (A E) 6= 0: Nichttriviale Lösungen ! x 6= ! 0 existieren also genau dann, wenn det (A E) = a11 a12 a1n a21 a22 a2n . . . .. an1 an2 ann Entwicklung liefert ein Polynom vom Grad n in : Satz 8.24. det (A E) = c0 + c1 + + cn 1 . = 0: n 1 + ( 1) n n : Die EWe der (n; n)–Matrix A sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms Satz 8.25. P ( ) = det (A E) : Hat die (n; n)–Matrix A die EWe 1; 2; : : : ; n; dann gilt 1. det A = 1 2 n; 2. sp A = 1 + 2 + + n:
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 76<br />
De…nition 8.23. (EW, EV)<br />
Eine Zahl , zu der ein Vektor ! x 6= ! 0 mit A ! x = ! x existiert, heißt<br />
Eigenwert (EW) von A. ! x heißt dann Eigenvektor (EV) von A.<br />
Bemerkung:<br />
Ist ! x EV zum EW , so auch r ! x <strong>für</strong> alle r 2 R n f0g :<br />
A ! x = ! x = (E ! x ) = ( E) ! x () (A E) ! x = ! 0 ; homogenes<br />
Gleichungssystem mit Matrix (A E) :<br />
Eindeutig lösbar (und zwar mit ! x = ! 0 ) () det (A E) 6= 0:<br />
Nichttriviale Lösungen ! x 6= ! 0 existieren also genau dann, wenn<br />
det (A E) =<br />
a11 a12 a1n<br />
a21 a22 a2n<br />
.<br />
.<br />
. ..<br />
an1 an2 ann<br />
Entwicklung liefert ein Polynom vom Grad n in :<br />
Satz 8.24.<br />
det (A E) = c0 + c1 + + cn 1<br />
.<br />
= 0:<br />
n 1 + ( 1) n n :<br />
Die EWe der (n; n)–Matrix A sind genau die Nullstellen des charakteristischen<br />
Polynoms<br />
Satz 8.25.<br />
P ( ) = det (A E) :<br />
Hat die (n; n)–Matrix A die EWe 1; 2; : : : ; n; dann gilt<br />
1. det A = 1 2 n;<br />
2. sp A = 1 + 2 + + n:
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