Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 73 Fall 1: k < m und nicht alle Zahlen k+1; : : : ; m sind Null =) keine Lösung. Fall 2: k = n und (falls k < m) k+1 = = m = 0 0 1 0 1 0 1 B @ 11 12 1n 22 2n . .. . nn C A B @ x1 x2 . xn C A = B @ xn = n nn (bea. nn 6= 0) usw. Rückwärtsau‡ösen =) eindeutige Lösung. Fall 3: k < n und (falls k < m) k+1 = = m = 0 11 x1 + 12 x2 + + 1k xk = 1 1;k+1 xk+1 1n xn 22 x2 + + 2k xk = 2 2;k+1 xk+1 2n xn . .. Die Zahlen xk+1; : : : ; xn sind beliebig wählbar, z.B. xk+1 = r1; xk+2 = r2; : : : ; xn = rn k: Einsetzen liefert mit gewissen Konstanten ij; i . 1 2 n C A kk xk = k k;k+1 xk+1 kn xn x1 = 11r1 + 12r2 + + 1;n krn k + 1 x2 = 21r1 + 22r2 + + 2;n krn k + 2 . xk = k1r1 + k2r2 + + k;n krn k + k xk+1 = r1 xk+2 = r2 xn = rn k .
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 74 In Vektorschreibweise Beispiele: 0 B ! B x = r1 B @ 0 B @ 0 B @ 0 @ 11 . k1 1 0 . 0 1 C A + r2 1 2 1 1 2 3 2 3 3 1 2 3 2 2 1 1 1 0 2 2 1 3 3 2 7 6 4 3 1 C A 0 @ 1 2 1 1 2 3 1 3 1 1 0 2 0 B @ 1 C A x1 x2 x3 1 A 12 . k2 0 1 . 0 0 B @ 1 A = 0 B @ 1 C A x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 + + rn k 1 0 C A = B @ 0 B @ 7 9 22 11 1 C A = Die allgemeine Lösung von A ! x = ! b ist ! x = ! v0 + r1 ! v1 + + rn k ! vn k 1 C A mit beliebigen Konstanten r1; r2; : : : ; rn k 2 R: 1 2 4 1 0 B @ 1 C A 1;n k . k;n k 0 0 . 1 1 0 C B C B C B C B C B C + B C B C B C B A @ Setzen wir zum Beispiel r1 = r2 = = rn k = 0; so ergibt sich ! x = ! v0. Also gilt A ! v0 = ! b ; das heißt ! v0 ist Lösung des Gleichungssystem A ! x = ! b : 0 @ 2 1 3 1 A . 1 k 0 0 . 0 1 C A
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 74<br />
In Vektorschreibweise<br />
Beispiele:<br />
0<br />
B<br />
!<br />
B<br />
x = r1<br />
B<br />
@<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0<br />
@<br />
11<br />
.<br />
k1<br />
1<br />
0<br />
.<br />
0<br />
1<br />
C<br />
A<br />
+ r2<br />
1 2 1 1<br />
2 3 2 3<br />
3 1 2 3<br />
2 2 1 1<br />
1 0 2<br />
2 1 3<br />
3 2 7<br />
6 4 3<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0<br />
@<br />
1 2 1 1<br />
2 3 1 3<br />
1 1 0 2<br />
0<br />
B<br />
@<br />
1<br />
C<br />
A<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
1<br />
A<br />
12<br />
.<br />
k2<br />
0<br />
1<br />
.<br />
0<br />
0<br />
B<br />
@<br />
1<br />
A =<br />
0<br />
B<br />
@<br />
1<br />
C<br />
A<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
x4<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
x4<br />
+ + rn k<br />
1<br />
0<br />
C<br />
A =<br />
B<br />
@<br />
0<br />
B<br />
@<br />
7<br />
9<br />
22<br />
11<br />
1<br />
C<br />
A =<br />
Die allgemeine Lösung von A ! x = ! b ist<br />
! x = ! v0 + r1 ! v1 + + rn k !<br />
vn k<br />
1<br />
C<br />
A<br />
mit beliebigen Konstanten r1; r2; : : : ; rn k 2 R:<br />
1<br />
2<br />
4<br />
1<br />
0<br />
B<br />
@<br />
1<br />
C<br />
A<br />
1;n k<br />
.<br />
k;n k<br />
0<br />
0<br />
.<br />
1<br />
1<br />
0<br />
C B<br />
C B<br />
C B<br />
C B<br />
C B<br />
C + B<br />
C B<br />
C B<br />
C B<br />
A @<br />
Setzen wir zum Beispiel r1 = r2 = = rn k = 0; so ergibt sich ! x = ! v0.<br />
Also gilt A ! v0 = ! b ; das heißt ! v0 ist Lösung des Gleichungssystem A ! x = ! b :<br />
0<br />
@<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
A<br />
.<br />
1<br />
k<br />
0<br />
0<br />
.<br />
0<br />
1<br />
C<br />
A
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