Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 71 Satz 8.22. (Cramersche Regel) Es sei A eine (n; n)–Matrix. Das Gleichungssystem A ! x = ! b ist genau dann eindeutig lösbar, wenn det A 6= 0 ist, mit der Lösung x1 = det A1 det A ; x2 det A2 = det A ; : : : ; xn det An = det A : Die Matrix Aj (j = 1; 2; : : : ; n) entsteht dabei aus A, indem die j–te Spalte durch ! b ersetzt wird. Bemerkung: Cramersche Regel ist ungünstig für n > 3. 8.5 Der Gaußsche Algorithmus Standard–Verfahren; optimal bezüglich Rechenaufwand. Idee: Umformung von A in Dreiecksform durch elementare Zeilenoperationen. Startschema: a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 . . am1 am2 amn bm Es gelte a11 6= 0 (andernfalls zwei Zeilen vertauschen). Addition der mit ; Addition der mit ergibt das Schema a21 a11 am1 a11 . . multiplizierten 1. Zeile zur 2. Zeile, multiplizierten 1. Zeile zur m-ten Zeile
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 72 a11 a12 a1n b1 0 a 0 22 a 0 2n b 0 2 0 a 0 32 a 0 3n . . 0 a 0 m2 a 0 mn b 0 m . . Es gelte a0 22 6= 0 (andernfalls zwei Zeilen vertauschen oder, falls 2. Spalte unterhalb Diagonalelement nur Nullen enthält, Unbekannte umstellen). Addition der mit ; Addition der mit ergibt das Schema a 0 32 a 0 22 a 0 m2 a 0 22 multiplizierten 2. Zeile zur 3. Zeile, multiplizierten 2. Zeile zur m-ten Zeile a11 a12 a13 a1n b1 0 a0 22 a0 23 a0 2n b0 2 0 0 a00 33 a00 3n b00 3 . . . 0 0 a 00 m2 a 00 mn b 00 m Nach k Schritten, wobei k m und k n, Ende bei System 11 12 1k 1;k+1 1n 1 . 22 2k 2;k+1 2n 2 . .. mit 11 6= 0; 22 6= 0; : : : ; kk 6= 0: Drei Fälle: . . . kk k;k+1 kn k 0 k+1 . . . . 0 n
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 71<br />
Satz 8.22. (Cramersche Regel)<br />
Es sei A eine (n; n)–Matrix. Das Gleichungssystem A ! x = ! b ist genau<br />
dann eindeutig lösbar, wenn det A 6= 0 ist, mit der Lösung<br />
x1 =<br />
det A1<br />
det A ; x2<br />
det A2<br />
=<br />
det A ; : : : ; xn<br />
det An<br />
=<br />
det A :<br />
Die Matrix Aj (j = 1; 2; : : : ; n) entsteht dabei aus A, indem die j–te Spalte<br />
durch ! b ersetzt wird.<br />
Bemerkung:<br />
Cramersche Regel ist ungünstig <strong>für</strong> n > 3.<br />
8.5 Der Gaußsche Algorithmus<br />
Standard–Verfahren; optimal bezüglich Rechenaufwand.<br />
Idee: Umformung von A in Dreiecksform durch elementare Zeilenoperationen.<br />
Startschema:<br />
a11 a12 a1n b1<br />
a21 a22 a2n b2<br />
.<br />
.<br />
am1 am2 amn bm<br />
Es gelte a11 6= 0 (andernfalls zwei Zeilen vertauschen).<br />
Addition der mit<br />
;<br />
Addition der mit<br />
ergibt das Schema<br />
a21<br />
a11<br />
am1<br />
a11<br />
.<br />
.<br />
multiplizierten 1. Zeile zur 2. Zeile,<br />
multiplizierten 1. Zeile zur m-ten Zeile
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