Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 67
De…nition 8.13.
Es sei A = (aik) eine (n; n)–Matrix. Diejenige (n 1; n 1)–Matrix, die aus
A durch Wegnahme der i–ten Zeile und der k–ten Spalte entsteht, wird als
Untermatrix Aik bezeichnet.
Bemerkung:
Es gibt n 2 solcher Aik.
De…nition 8.14. (Determinante)
Für eine (n; n)–Matrix A = (aik) heißt die Zahl
det A = a11 det A11 a12 det A12 + + ( 1) n+1 a1n det A1n
=
nX
k=1
Determinante von A.
Bemerkung:
( 1) i+k a1k det A1k
1. Entwicklung nach der ersten Zeile.
2. Rückführung von n–reihiger Determinante auf n Determinanten mit
n 1 Reihen. Also sukzessiver Abbau auf zweier–Determinanten möglich.
De…nition 8.15. (Laplacescher Entwicklungssatz)
Für eine (n; n)–Matrix A = (aik) gilt
1. det A = nP
( 1) i+k aik det Aik für i = 1; 2; : : : ; n (Entwicklung
k=1
nach der i–ten Zeile),
2. det A = nP
( 1) i+k aik det Aik für k = 1; 2; : : : ; n (Entwicklung
i=1
nach der k–ten Spalte).