Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 59 7.3 Parabel De…nition 7.4. (Parabel) Die Parabel ist die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstände von einer festen Geraden ` (Leitlinie) und einem Punkt F (Brennpunkt) gleich sind. Das Lot P L auf die Leitlinie heißt Leitstrahl, P F heißt Brennstrahl. Forderung: P L = P F . Der Abstand vom Brennpunkt zur Leitlinie heißt Halbparameter p. Der Scheitelpunkt S halbiert p = L0F . Scheitelgleichung: y2 = 2px: Polargleichung: r = 1 p ; ' 2 (0; 2 ) : cos ' Parameterdarstellung: x (t) = t 2 y (t) = p 2p t (t 2 ( 1; +1)) : 7.4 Hyperbel De…nition 7.5. (Hyperbel) Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Di¤erenz ihrer Abstände von zwei festen Punkten (Brennpunkte) konstant ist. Mittelpunktsgleichung: x a 2 y b 2 = 1: Hauptscheitelpunkte: ( a; 0) und (a; 0) ; wobei a reelle und b imaginäre Halbachse heißt. Parameterdarstellung: x (t) = a cosh t y (t) = b sinh t (t 2 ( 1; +1)) :
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 60 7.5 Kegelschnitte Ziel: Einheitliche Behandlung von Ellipse, Parabel und Hyperbel. Allgemeine Form einer algebraischen Gleichung zweiten Grades: a11 x 2 + 2 a12 x y + a22 y 2 + 2 a13 x + 2 a23 y + a33: Determinante D = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 mit Unterdeterminanten D11 = a22 a23 a32 a33 Scheitelgleichungen: Ellipse: y 2 = 2px Parabel: y 2 = 2px Hyperbel: y 2 = 2px mit aik = aki ; D33 = a11 a12 a21 a22 p a p a x 2 x 2 Einheitliche gemeinsame Gleichungen: y 2 = 2px " 2 1 x 2 (Scheitelgleichung) r = p 1 " cos ' " = 0 für Kreis 0 " < 1 für Ellipse " = 1 für Parabel " > 1 für Hyperbel (Polargleichung) :
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 60<br />
7.5 Kegelschnitte<br />
Ziel: Einheitliche Behandlung von Ellipse, Parabel und Hyperbel.<br />
Allgemeine Form einer algebraischen Gleichung zweiten Grades:<br />
a11 x 2 + 2 a12 x y + a22 y 2 + 2 a<strong>13</strong> x + 2 a23 y + a33:<br />
Determinante<br />
D =<br />
a11 a12 a<strong>13</strong><br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
mit Unterdeterminanten<br />
D11 = a22 a23<br />
a32 a33<br />
Scheitelgleichungen:<br />
Ellipse: y 2 = 2px<br />
Parabel: y 2 = 2px<br />
Hyperbel: y 2 = 2px<br />
mit aik = aki<br />
; D33 = a11 a12<br />
a21 a22<br />
p<br />
a<br />
p<br />
a<br />
x 2<br />
x 2<br />
Einheitliche gemeinsame Gleichungen:<br />
y 2 = 2px " 2 1 x 2 (Scheitelgleichung)<br />
r =<br />
p<br />
1 " cos '<br />
" = 0 <strong>für</strong> Kreis<br />
0 " < 1 <strong>für</strong> Ellipse<br />
" = 1 <strong>für</strong> Parabel<br />
" > 1 <strong>für</strong> Hyperbel<br />
(Polargleichung)<br />
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