Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 59
7.3 Parabel
De…nition 7.4. (Parabel)
Die Parabel ist die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstände von einer
festen Geraden ` (Leitlinie) und einem Punkt F (Brennpunkt) gleich sind.
Das Lot P L auf die Leitlinie heißt Leitstrahl, P F heißt Brennstrahl.
Forderung: P L = P F .
Der Abstand vom Brennpunkt zur Leitlinie heißt Halbparameter p.
Der Scheitelpunkt S halbiert p = L0F .
Scheitelgleichung: y2 = 2px:
Polargleichung: r =
1
p
; ' 2 (0; 2 ) :
cos '
Parameterdarstellung:
x (t) = t 2
y (t) = p 2p t (t 2 ( 1; +1)) :
7.4 Hyperbel
De…nition 7.5. (Hyperbel)
Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Di¤erenz
ihrer Abstände von zwei festen Punkten (Brennpunkte) konstant ist.
Mittelpunktsgleichung:
x
a
2 y
b
2 = 1:
Hauptscheitelpunkte: ( a; 0) und (a; 0) ; wobei a reelle und b imaginäre
Halbachse heißt.
Parameterdarstellung:
x (t) = a cosh t
y (t) = b sinh t (t 2 ( 1; +1)) :