Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 57 7 Analytische Geometrie 7.1 Kurvengleichungen in der Ebene De…nition 7.1. (Polarkoordinaten) Wählen festen Punkt O einer Ebene als Pol und einen von O ausgehenden Strahl als Polarachse. Die Polarkoordinaten (r; ') eines Punktes P 6= O bestehen aus dem Abstand r = OP und dem Richtungswinkel ' zwischen Polarachse und OP (mathematisch positiv gemessen). De…nition 7.2. (Parameterdarstellung einer Kurve) Durch das Gleichungssystem x = x (t) y = y (t) wird jedem Parameterwert t 2 T der Punkt P (x; y) zugeordnet. 7.2 Kreis, Ellipse Die Gleichung des Kreises um M (xM; yM) mit Radius R ist (x xM) 2 + (y yM) 2 = R 2 : Ist speziell xM = yM = 0; so gilt x 2 + y 2 = R 2 : x 2 + y 2 < R 2 (Kreisinneres) x 2 + y 2 > R 2 (Kreisäußeres) Polarkoordinatendarstellung mit Pol als Mittelpunkt: r = R: Parameterdarstellung: x (t) = xM + R cos t y (t) = yM + R sin t:
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 58 Tangente an Kreis x 2 + y 2 = R 2 mit Berührpunkt P (x0; y0) besitzt die Gleichung x x0 + y y0 = R 2 : De…nition 7.3. (Ellipse) Die Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe ihrer Abstände von zwei festen Punkten (Brennpunkte) konstant ist. Abstand der beiden Brennpunkte F1 und F2 ist F1F2 = 2e: Die Summe der beiden Brennstrahlen ist P F1 + P F2 = 2a: Lineare Exzentrizität ist e. Numerische Exzentrizität ist " = e a : Wegen e < a gilt " < 1: Mittelpunktgleichung: Parameterdarstellung: x (t) = a cos t x a 2 + y b y (t) = b sin t (t 2 [0; 2 )) : Bemerkungen: 2 = 1: 1. Aus der Parameterdarstellung folgt wieder die Mittelpunktsgleichung. 2. Der Kreis ergibt sich als Spezialfall a = b = R; F1 = F2 = M: 3. Die Ellipsentangente im Ellipsenpunkt P (x0; y0) besitzt die Gleichung x x0 y x0 + a2 b2 = 1:
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7 Analytische Geometrie<br />
7.1 Kurvengleichungen in der Ebene<br />
De…nition 7.1. (Polarkoordinaten)<br />
Wählen festen Punkt O einer Ebene als Pol und einen von O ausgehenden<br />
Strahl als Polarachse. Die Polarkoordinaten (r; ') eines Punktes P 6=<br />
O bestehen aus dem Abstand r = OP und dem Richtungswinkel '<br />
zwischen Polarachse und OP (mathematisch positiv gemessen).<br />
De…nition 7.2. (Parameterdarstellung einer Kurve)<br />
Durch das Gleichungssystem<br />
x = x (t)<br />
y = y (t)<br />
wird jedem Parameterwert t 2 T der Punkt P (x; y) zugeordnet.<br />
7.2 Kreis, Ellipse<br />
Die Gleichung des Kreises um M (xM; yM) mit Radius R ist<br />
(x xM) 2 + (y yM) 2 = R 2 :<br />
Ist speziell xM = yM = 0; so gilt x 2 + y 2 = R 2 :<br />
x 2 + y 2 < R 2 (Kreisinneres)<br />
x 2 + y 2 > R 2 (Kreisäußeres)<br />
Polarkoordinatendarstellung mit Pol als Mittelpunkt: r = R:<br />
Parameterdarstellung:<br />
x (t) = xM + R cos t<br />
y (t) = yM + R sin t:
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