Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 53 Satz 6.11. Sind F1 und F2 Stammfunktionen von f in [a; b], dann gilt F1 (x) = F2 (x) + c für alle x 2 [a; b] mit einer Konstanten c 2 R. Satz 6.12. (Hauptsatz der Di¤erential- und Integralrechnung) Es sei f stetig auf [a; b], dann besitzt f eine Stammfunktion, und für jede Stammfunktion F zu f gilt Rb a Bemerkung: f (x) dx = F (b) F (a) : 1. Schreibweise Rb a f (x) dx =: F (x) j b a = F (b) F (a) : 2. Zur Berechnung bestimmter Integrale gilt es, eine Stammfunktion zu …nden. 6.4 Methoden zur Berechnung von Integralen Satz 6.13. (Substitutionsregel) Es sei f stetig in [a; b]. Die Funktion x (t) sei stetig di¤erenzierbar auf [ ; ] mit x ( ) = a, x ( ) = b und x(t) 2 [a; b] für alle t 2 [ ; ]. Dann gilt: Rb a f (x) dx = R f (x (t)) x 0 (t) dt: Satz 6.14. (Partielle Integration) Die Funktionen f und g seien stetig di¤erenzierbar auf [a; b], Weierhin seien f 0 und g 0 beschränkt und Riemann–integrierbar auf [a; b]. Dann gilt Rb a f 0 (x) g (x) dx = f (x) g (x) j b a Rb f (x) g0 (x) dx: a
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 54 6.5 Partialbruchzerlegung Problem: Integral über rationale Funktionen Zb a P (x) Q (x) dx = Zb a anxn + + a0x0 bmxm dx + + b0x0 P (x) Q(x) Es gelte Q (x) 6= 0 im Integrationsbereich [a; b]. Wir gehen davon aus, dass P und Q keine gemeinsamen Nullstellen haben (andernfalls kürzen). Ist Grad P = n m = Grad Q, so führe man eine Polynomdivision mit Rest durch. Methode: Zerlege Q (x) in ein Produkt aus linearen und quadratischen Faktoren. Dann kann man darstellen als Linearkombinationen von Ausdrücken des Typs Fall 1: P (x) Q(x) 1 und k (x ) Ax + B (x2 : ` + x + ) Q hat nur einfache lineare Faktoren, d.h. Ansatz: Fall 2: Q (x) = (x 1) (x 2) (x n) : P (x) a1 = + Q (x) x 1 a2 + + x 2 an x n Q hat mehrfache lineare Faktoren, d.h. Q (x) = (x 1) k1 (x 2) k2 (x r) kr = rY (x j) kj mit j=1 rX kj = n: j=1
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6.5 Partialbruchzerlegung<br />
Problem: Integral über rationale Funktionen<br />
Zb<br />
a<br />
P (x)<br />
Q (x)<br />
dx =<br />
Zb<br />
a<br />
anxn + + a0x0 bmxm dx<br />
+ + b0x0 P (x)<br />
Q(x)<br />
Es gelte Q (x) 6= 0 im Integrationsbereich [a; b]. Wir gehen davon aus, dass P<br />
und Q keine gemeinsamen Nullstellen haben (andernfalls kürzen). Ist Grad<br />
P = n m = Grad Q, so führe man eine Polynomdivision mit Rest durch.<br />
Methode:<br />
Zerlege Q (x) in ein Produkt aus linearen und quadratischen Faktoren. Dann<br />
kann man darstellen als Linearkombinationen von Ausdrücken des Typs<br />
Fall 1:<br />
P (x)<br />
Q(x)<br />
1<br />
und k<br />
(x )<br />
Ax + B<br />
(x2 : `<br />
+ x + )<br />
Q hat nur einfache lineare Faktoren, d.h.<br />
Ansatz:<br />
Fall 2:<br />
Q (x) = (x 1) (x 2) (x n) :<br />
P (x) a1<br />
= +<br />
Q (x) x 1<br />
a2<br />
+ +<br />
x 2<br />
an<br />
x n<br />
Q hat mehrfache lineare Faktoren, d.h.<br />
Q (x) = (x 1) k1 (x 2) k2 (x r) kr =<br />
rY<br />
(x j) kj mit<br />
j=1<br />
rX<br />
kj = n:<br />
j=1
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