Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 53
Satz 6.11.
Sind F1 und F2 Stammfunktionen von f in [a; b], dann gilt
F1 (x) = F2 (x) + c für alle x 2 [a; b]
mit einer Konstanten c 2 R.
Satz 6.12. (Hauptsatz der Di¤erential- und Integralrechnung)
Es sei f stetig auf [a; b], dann besitzt f eine Stammfunktion, und für jede
Stammfunktion F zu f gilt
Rb
a
Bemerkung:
f (x) dx = F (b) F (a) :
1. Schreibweise
Rb
a
f (x) dx =: F (x) j b
a = F (b) F (a) :
2. Zur Berechnung bestimmter Integrale gilt es, eine Stammfunktion zu
…nden.
6.4 Methoden zur Berechnung von Integralen
Satz 6.13. (Substitutionsregel)
Es sei f stetig in [a; b]. Die Funktion x (t) sei stetig di¤erenzierbar auf [ ; ]
mit x ( ) = a, x ( ) = b und x(t) 2 [a; b] für alle t 2 [ ; ]. Dann gilt:
Rb
a
f (x) dx = R f (x (t)) x 0 (t) dt:
Satz 6.14. (Partielle Integration)
Die Funktionen f und g seien stetig di¤erenzierbar auf [a; b], Weierhin seien
f 0 und g 0 beschränkt und Riemann–integrierbar auf [a; b]. Dann gilt
Rb
a
f 0 (x) g (x) dx = f (x) g (x) j b
a
Rb
f (x) g0 (x) dx:
a