Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 49<br />
6 Integralrechnung<br />
6.1 De…nition des bestimmten Riemannschen Integrals<br />
Problem: Flächeninhalt A zwischen Kurve y = f (x) und x–Achse.<br />
Zerlegung Z von [a; b] in n + 1 <strong>Teil</strong>punkte<br />
a = x0 < x1 < x2 < < xn = b:<br />
Bilden über jedem <strong>Teil</strong>intervall [xi 1; xi] jeweils ein Rechteck mit der Fläche<br />
f(xi) (xi xi 1). Die Summe dieser Rechtecks‡ächen<br />
SZ = nP<br />
f(xi) (xi xi 1)<br />
i=1<br />
heißt Riemannsche Summe bezüglich der Zerlegung Z.<br />
Ein Maß<strong>für</strong> die „Feinheit“ einer Zerlegung Z ist die Länge des größten<br />
<strong>Teil</strong>intervalls<br />
kZk = max (xi xi 1) :<br />
Erwartung: SZ ! A <strong>für</strong> kZk ! 0:<br />
De…nition 6.1. (Bestimmtes Riemannsches Integral)<br />
Die Funktion f sei beschränkt auf dem Intervall [a; b]. Streben die Riemannschen<br />
Summen SZ <strong>für</strong> alle Z mit kZk ! 0 einem gemeinsamen Grenzwert<br />
S zu, so heißt f integrierbar auf [a; b]. Die Zahl<br />
S = lim<br />
kZk!0 SZ =<br />
Rb<br />
a<br />
f (x) dx<br />
heißt bestimmtes Riemannsches Integral über f im Intervall [a; b] :<br />
Bemerkungen:<br />
1. Das bestimmte Riemannsche Integral ist eine Zahl.
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