Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 44
Gilt f 0 (x) = g 0 (x) für alle x 2 [a; b] ; dann folgt f (x) = g (x) + c auf [a; b]
mit einer Konstanten c 2 R:
Satz 5.24.
Die Funktion f sei auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig und (mindestens)
auf dem o¤enen Intervall (a; b) di¤erenzierbar.
1. f 0 (x0) > 0 auf (a; b) =) f streng monoton wachsend.
2. f 0 (x0) < 0 auf (a; b) =) f streng monoton fallend.
Bemerkung:
Ist die Funktion f auf [a; b] di¤erenzierbar mit f 0 (x0) > 0 auf (a; b) oder
f 0 (x0) < 0 auf (a; b) ; so existiert die Umkehrfunktion f 1 :
5.5 Extremwerte
Satz 5.25.
Die Funktion f sei zweimal di¤erenzierbar, und es gelte f 0 (x0) = 0:
1. Ist f 00 (x0) < 0; so hat f in x0 ein lokales Maximum.
2. Ist f 00 (x0) > 0; so hat f in x0 ein lokales Minimum.
Bemerkung:
Diese Bedingungen für lokale Extrema sind hinreichend, aber nicht notwendig.
Satz 5.26.
Die Funktion f sei n–mal di¤erenzierbar (n 2) und es gelte f 0 (x0) =
f 00 (x0) = = f (n 1) (x0) = 0; sowie f (n) (x0) 6= 0: