Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 43
5.4 Sätze über di¤erenzierbare Funktionen
De…nition 5.19. (Lokales Extremum)
Die Funktion f hat in x0 ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum),
wenn es ein > 0 gibt, so dass f (x) f (x0) (bzw. f (x) f (x0)) für alle
x 2 (x0 ; x0 + ) gilt.
Satz 5.20. (Notwendige Bedingung für lokales Extremum)
Die Funktion f sei in (a; b) de…niert und in x0 2 (a; b) di¤erenzierbar. Besitzt
f in x0 ein lokales Extremum, so gilt f 0 (x0) = 0:
Bemerkung:
Das heißt, y = f (x) besitzt in einer lokalen Extremstelle eine waagrechte
Tangente.
Satz 5.21. (Satz von Rolle)
Die Funktion f sei auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig und (mindestens)
auf dem o¤enen Intervall (a; b) di¤erenzierbar. Weiterhin gelte f (a) =
f (b) : Dann existiert (mindestens) eine Zahl x0 2 (a; b) mit f 0 (x0) = 0:
Satz 5.22. (Mittelwertsatz der Di¤erentialrechnung)
Die Funktion f sei auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig und (mindestens)
auf dem o¤enen Intervall (a; b) di¤erenzierbar. Dann existiert (mindestens)
eine Zahl x0 2 (a; b) ; so dass gilt
Satz 5.23.
f (b) f (a)
b a
= f 0 (x0) :
Gilt f 0 (x) = 0 für alle x 2 [a; b] ; dann ist f konstant auf [a; b] :
Bemerkung: