Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 39 Satz 5.5. (Kettenregel) u = u (x) sei di¤erenzierbar in x0; y = g (x) sei di¤erenzierbar in u0 = u (x0) : Dann ist die zusammengesetzte Funktion f (x) = g (u (x)) in x0 di¤erenzierbar mit Bemerkung: f 0 (x0) = g 0 (u (x0)) u 0 (x0) : Formal kann man die Kettenregel mit sogennanten Di¤erentialen in folgender Form schreiben: y 0 = dy dy = dx du du dx : Satz 5.6. (Ableitung der Umkehrfunktion) y = f (x) sei stetig und streng monoton auf [a; b] : Ist f di¤erenzierbar an x0 2 [a; b] mit f 0 (x0) 6= 0; dann ist die Umkehrfunktion x = f 1 (y) di¤erenzierbar an y0 = f (x0) mit f 1 0 (y0) = 1 f 0 (x0) . 5.3 Ableitung der elementaren Funktionen Satz 5.7. (Exponentialfunktion) (e x ) 0 = e x für alle x 2 R. Satz 5.8. (Logarithmusfunktion) (ln x) 0 = 1 x für alle x 2 (0; +1).
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 40 Satz 5.9. (Potenzfunktion) Es sei 2 R konstant. Dann gilt Satz 5.10. (x ) 0 = x 1 für alle (0; +1) : Es gelte h (x) = [f (x)] g(x) mit f (x) > 0. Dann gilt h 0 (x) = h (x) [g (x) ln f (x)] 0 : Satz 5.11. (Trigonometrische Funktionen) Die Funktionen sin x; cos x; tan x; cot x sind an jeder Stelle ihres De…nitionsbereiches di¤erenzierbar mit 1. (sin x) 0 = cos x; 2. (cos x) 0 = sin x; 3. (tan x) 0 = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x; 4. (cot x) 0 = Satz 5.12. 1 sin 2 x = 1 cot2 x: Es sei ! eine Konstante mit ! 6= 0. 1. Die Funktion y (x) = a cos !x + b sin !x (a; b 2 R) genügt der Di¤erentialgleichung (DGL) y 00 (x) + ! 2 y (x) = 0:
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 39<br />
Satz 5.5. (Kettenregel)<br />
u = u (x) sei di¤erenzierbar in x0; y = g (x) sei di¤erenzierbar in u0 =<br />
u (x0) : Dann ist die zusammengesetzte Funktion f (x) = g (u (x)) in x0<br />
di¤erenzierbar mit<br />
Bemerkung:<br />
f 0 (x0) = g 0 (u (x0)) u 0 (x0) :<br />
Formal kann man die Kettenregel mit sogennanten Di¤erentialen in folgender<br />
Form schreiben:<br />
y 0 = dy dy<br />
=<br />
dx du<br />
du<br />
dx :<br />
Satz 5.6. (Ableitung der Umkehrfunktion)<br />
y = f (x) sei stetig und streng monoton auf [a; b] : Ist f di¤erenzierbar an<br />
x0 2 [a; b] mit f 0 (x0) 6= 0; dann ist die Umkehrfunktion x = f 1 (y) di¤erenzierbar<br />
an y0 = f (x0) mit<br />
f 1 0 (y0) =<br />
1<br />
f 0 (x0) .<br />
5.3 Ableitung der elementaren Funktionen<br />
Satz 5.7. (Exponentialfunktion)<br />
(e x ) 0 = e x <strong>für</strong> alle x 2 R.<br />
Satz 5.8. (Logarithmusfunktion)<br />
(ln x) 0 = 1<br />
x<br />
<strong>für</strong> alle x 2 (0; +1).
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