Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 37
5 Di¤erentialrechnung
5.1 Der Begri¤ der Ableitung
De…nition 5.1. (Di¤erenzierbarkeit)
f heißt di¤erenzierbar in x0, wenn der Grenzwert
f (x) f (x0)
lim
x!x0 x x0
existiert.
df
Bez.:
dx (x0) ; df
dx jx0 ; f 0 (x0)
Bemerkungen:
1. Die Funktion f 0 mit dem De…nitionsbereich
D (f) = f x0 2 D (f) j f 0 (x0) existiert g heißt Ableitung von f.
2. Höhere Ableitungen sind:
f 00 := f 0 0 ; f 000 := f 00 0 ; : : : ; f (n+1) := f (n)
Formal ist f := f (0) :
3. Existiert nur einseitig
f (x) f (x0)
lim
x!x0 0 x x0
bzw. lim
x!x0+0
0
:
f (x) f (x0)
;
x x0
dann heißt f linksseitig bzw. rechtsseitig di¤erenzierbar in x0:
4. f heißt stetig di¤erenzierbar, wenn f 0 existiert und stetig ist.
5. Setzt man x = x0 + h; so ist
f 0 (x0) = lim
h!0
f (x0 + h) f (x0)
:
h