Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 36
Satz 4.19.
Ein Polynom Pn vom Grad n 1 hat genau n Nullstellen x1; x2; : : :,xn; und
es gilt die Produktdarstellung
Pn (x) = an (x x1) (x x2) (x xn) :
Bemerkungen:
1. Die Nullstellen x1; x2; : : : ; xn sind komplexe Zahlen.
2. Die Nullstellen können teilweise gleich sein.
3. Sind alle Koe¢ zienten ak reell, und ist n ungerade, so hat Pn mindestens
eine reelle Nullstelle.
4. Sind alle Koe¢ zienten ak reell, und ist die komplexe Zahl a + j b eine
Nullstelle von Pn; so auch die dazu konjugiert komplexe Zahl a j b:
5. Sind alle Koe¢ zienten ak ganzzahlig, und ist x1 eine ganzzahlige Nullstelle
von Pn; so ist x1 ein Teiler des absoluten Gliedes a0:
6. Für Polynome der Grade n = 2, 3, 4 gibt es exakte Formeln zur Bestimmung
der Nullstellen, für n 5 nicht (Satz von Abel). Die Formeln für
n = 3, 4 sind sehr unhandlich, so dass man besser Näherungsverfahren
verwendet.
4.7 Regula falsi
Die Regula falsi ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung
der Nullstellen von stetigen Funktionen. Näheres dazu siehe Vorlesung.