Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 35
Bemerkung:
Jeder Wert zwischen min f (x) und max f (x) wird mindestens einmal als
Funktionswert angenommen. Dies gilt nicht für unstetige Funktionen (Bsp.
Signumfunktion f (x) = sgn(x)).
Als direkte Folgerung ergibt sich:
Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] ; und es
gelte f (a) < 0 und f (b) > 0 (bzw. f (a) > 0 und f (b) < 0). Dann existiert
eine Zahl x0 2 [a; b] mit f (x0) = 0; das heißt, f besitzt eine Nullstelle in
[a; b] :
4.6 Polynome
De…nition 4.17. (Polynom)
Eine Funktion Pn der Form
Pn (x) = an x n + an 1 x n 1 + + a1 x + a0 =
mit an 6= 0 heißt Polynom vom Grad n.
Bemerkung:
Alle Polynome sind stetig auf R.
nX
k=0
ak x k
Einzeiliges und vollständiges Horner–Schema siehe Vorlesung.
Satz 4.18. (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes Polynom Pn (x) = an x n + an 1 x n 1 + + a1 x + a0 vom Grad
n 1 hat mindestens eine Nullstelle.
Bemerkung:
Eventuell gibt es keine reelle Nullstelle.