Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 33 Satz 4.10. Es gilt ln (1 + x) 1. lim = 1; x!0 x e 2. lim x!0 x 1 = 1: x 4.5 Stetigkeit De…nition 4.11. (Stetigkeit) 1. Die Funktion f heißt stetig an der Stelle x0 2 D (f) , wenn f an x0 den Grenzwert f (x0) hat, das heißt lim f (x) = f (x0) : x!x0 2. Die Funktion f heißt stetig auf einer Teilmenge M von D (f), wenn f stetig an jedem x0 2 M ist. 3. Die Menge aller auf M stetigen Funktionen bezeichnet man mit C (M). Bemerkungen: 1. f mußan x0 de…niert sein (im Gegensatz zur Grenzwertuntersuchung). 2. f unstetig an x0 bedeutet: lim f (x) = f (x0) existiert nicht oder ist x!x0 ungleich f (x0) : 3. Linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit analog Grenzwertde…nition. Satz 4.12. Sind f und g stetig an x0, dann sind f + g, f g, f g und f g stetig an x0, wobei bei f g für die Funktion im Nenner g (x0) 6= 0 gelten muß.
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 34 Folgerungen: 1. Alle Polynome sind stetige Funktionen auf R. 2. Alle rationalen Funktionen sind stetig in ihrem De…nitionsbereich. Satz 4.13. Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] : Dann ist f beschränkt auf [a; b] ; das heißt, es gibt eine Konstante M, so dass jf (x)j M für alle x 2 [a; b] gilt. Satz 4.14. (Absolutes Maximum, absolutes Minimum) Die Funktion f hat an der Stelle x0 2 D (f) 1. ein absolutes Maximum, wenn f (x0) f (x) für alle x 2 D (f) ; 2. ein absolutes Minimum, wenn f (x0) f (x) für alle x 2 D (f) : Bez.: f (x0) = max x2D(f) f (x) bzw. f (x0) = min f (x) x2D(f) Satz 4.15. Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] : Dann nimmt f an (mindestens) einer Stelle x1 ein absolutes Maximum und an (mindestens) einer Stelle x2 ein absolutes Minimum an. Satz 4.16. (Zwischenwertsatz) Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] : Dann existiert zu jeder Zahl y0 mit min x2[a;b] f (x) y0 max f (x) x2[a;b] mindestens ein x0 2 [a; b] mit f (x0) = y0:
- Seite 1 und 2: Mathematik für Ingenieure (Teil 1)
- Seite 3 und 4: 4 Funktionen 28 4.1 De…nition . .
- Seite 5 und 6: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 7 und 8: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 9 und 10: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 11 und 12: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 13 und 14: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 15 und 16: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 17 und 18: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 19 und 20: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 21 und 22: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 23 und 24: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 25 und 26: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 27 und 28: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 29 und 30: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 31 und 32: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 33 und 34: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 35: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 39 und 40: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 41 und 42: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 43 und 44: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 45 und 46: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 47 und 48: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 49 und 50: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 51 und 52: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 53 und 54: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 55 und 56: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 57 und 58: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 59 und 60: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 61 und 62: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 63 und 64: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 65 und 66: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 67 und 68: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 69 und 70: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 71 und 72: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 73 und 74: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 75 und 76: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 77 und 78: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
- Seite 79 und 80: U. Abel, MND: Ingenieurmathematik W
U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 34<br />
Folgerungen:<br />
1. Alle Polynome sind stetige Funktionen auf R.<br />
2. Alle rationalen Funktionen sind stetig in ihrem De…nitionsbereich.<br />
Satz 4.<strong>13</strong>.<br />
Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] : Dann<br />
ist f beschränkt auf [a; b] ; das heißt, es gibt eine Konstante M, so dass<br />
jf (x)j M <strong>für</strong> alle x 2 [a; b] gilt.<br />
Satz 4.14. (Absolutes Maximum, absolutes Minimum)<br />
Die Funktion f hat an der Stelle x0 2 D (f)<br />
1. ein absolutes Maximum, wenn f (x0) f (x) <strong>für</strong> alle x 2 D (f) ;<br />
2. ein absolutes Minimum, wenn f (x0) f (x) <strong>für</strong> alle x 2 D (f) :<br />
Bez.: f (x0) = max<br />
x2D(f) f (x) bzw. f (x0) = min f (x)<br />
x2D(f)<br />
Satz 4.15.<br />
Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] : Dann<br />
nimmt f an (mindestens) einer Stelle x1 ein absolutes Maximum und an<br />
(mindestens) einer Stelle x2 ein absolutes Minimum an.<br />
Satz 4.16. (Zwischenwertsatz)<br />
Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] : Dann<br />
existiert zu jeder Zahl y0 mit<br />
min<br />
x2[a;b] f (x) y0 max f (x)<br />
x2[a;b]<br />
mindestens ein x0 2 [a; b] mit f (x0) = y0:
Change language