Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 32
Allgemeine Fragestellung:
Gegeben sei eine Funktion f mit De…nitionsbereich D (f) : Es sei (xn) eine
Folge mit xn 2 D (f) ; xn 6= x0 und lim
n!1 xn = x0: Wie verhält sich die Folge
(f (xn))?
De…nition 4.8. (Grenzwert einer Funktion)
Die Funktion f hat an der Stelle x0 den Grenzwert g, wenn für jede Folge
(xn) mit xn 2 D (f) ; xn 6= x0 und lim
n!1 xn = x0
gilt.
lim
n!1 f (xn) = g
Bez.: lim f (x) = g
x!x0
Bemerkungen:
Satz 4.9.
Linksseitiger Grenzwert lim f (x) ;
x!x0 0
rechtsseitiger Grenzwert lim
x!x0+0
f (x) :
Es werden in De…nition 4.8 nur Folgen (xn) mit xn < x0 bzw. xn > x0
herangezogen.
lim f (x) = g ist äquivalent zu lim f (x) = g und lim f (x) = g:
x!x0
x!x0 0 x!x0+0
Es ist egal, ob f an x0 de…niert ist oder nicht. Es kann der Fall eintreten,
dass eine Funktion an der Stelle x0 einen Grenzwert besitzt,
obwohl sie dort überhaupt nicht de…niert ist.
Ist f in x0 de…niert, so spielt der Funktionswert f (x0) für den Grenzwert
keine Rolle wegen xn 6= x0:
lim f (x) = g bedeutet lim
x!+1 n!1 f (xn) = g für alle Folgen mit xn 2
D (f) und lim
n!1 xn = +1:
sin x
Es gilt lim = 1:
x!0 x