Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 31 4.3 Umkehrfunktion Eine Funktion ordnet jedem x 2 D (f) eindeutig ein y 2 W (f) zu. Wir wollen durch eine sogennante Umkehrfunktion f 1 jedem Wert y 2 W (f) eindeutig ein x 2 D (f) zuordnen mit f (x) = y. Dies ist nicht immer möglich. Erforderlich ist, dass aus x1; x2 2 D (f) mit x1 6= x2 stets f (x1) 6= f (x2) folgt. Solche f heißen eineindeutig. Sie besitzen eine Umkehrfunktion f 1 : Bemerkungen: Satz 4.7. f 1 (y) = x () y = f (x) D f 1 = W (f) ; W f 1 = D (f) f 1 (f (x)) = x für alle x 2 D (f) f f 1 (y) = y für alle y 2 W (f) Die Funktion y = f (x) sei streng monoton wachsend bzw. fallend auf D (f) : Dann existiert die Umkehrfunktion x = f 1 (y) auf D f 1 = W (f) und ist dort streng monoton wachsend bzw. fallend. Geometrische Interpretation: Spiegelung an Winkelhalbierender y = x. 4.4 Grenzwerte von Funktionen Bsp.: f (x) = x 2 ; Annäherung an Stelle x0 = 2 Wir wählen Folgen (xn) mit xn ! x0 (n ! 1) xn 1; 9 1; 99 1; 999 1; 9999 : : : f (xn) 3; 61 3; 9601 3; 996001 3; 99960001 : : : xn 2; 1 2; 01 2; 001 2; 0001 : : : f (xn) 4; 41 4; 0401 4; 004001 4; 00040001 : : :
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 32 Allgemeine Fragestellung: Gegeben sei eine Funktion f mit De…nitionsbereich D (f) : Es sei (xn) eine Folge mit xn 2 D (f) ; xn 6= x0 und lim n!1 xn = x0: Wie verhält sich die Folge (f (xn))? De…nition 4.8. (Grenzwert einer Funktion) Die Funktion f hat an der Stelle x0 den Grenzwert g, wenn für jede Folge (xn) mit xn 2 D (f) ; xn 6= x0 und lim n!1 xn = x0 gilt. lim n!1 f (xn) = g Bez.: lim f (x) = g x!x0 Bemerkungen: Satz 4.9. Linksseitiger Grenzwert lim f (x) ; x!x0 0 rechtsseitiger Grenzwert lim x!x0+0 f (x) : Es werden in De…nition 4.8 nur Folgen (xn) mit xn < x0 bzw. xn > x0 herangezogen. lim f (x) = g ist äquivalent zu lim f (x) = g und lim f (x) = g: x!x0 x!x0 0 x!x0+0 Es ist egal, ob f an x0 de…niert ist oder nicht. Es kann der Fall eintreten, dass eine Funktion an der Stelle x0 einen Grenzwert besitzt, obwohl sie dort überhaupt nicht de…niert ist. Ist f in x0 de…niert, so spielt der Funktionswert f (x0) für den Grenzwert keine Rolle wegen xn 6= x0: lim f (x) = g bedeutet lim x!+1 n!1 f (xn) = g für alle Folgen mit xn 2 D (f) und lim n!1 xn = +1: sin x Es gilt lim = 1: x!0 x
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4.3 Umkehrfunktion<br />
Eine Funktion ordnet jedem x 2 D (f) eindeutig ein y 2 W (f) zu. Wir<br />
wollen durch eine sogennante Umkehrfunktion f 1 jedem Wert y 2 W (f)<br />
eindeutig ein x 2 D (f) zuordnen mit f (x) = y.<br />
Dies ist nicht immer möglich.<br />
Erforderlich ist, dass aus x1; x2 2 D (f) mit x1 6= x2 stets f (x1) 6= f (x2)<br />
folgt. Solche f heißen eineindeutig. Sie besitzen eine Umkehrfunktion f 1 :<br />
Bemerkungen:<br />
Satz 4.7.<br />
f 1 (y) = x () y = f (x)<br />
D f 1 = W (f) ; W f 1 = D (f)<br />
f 1 (f (x)) = x <strong>für</strong> alle x 2 D (f)<br />
f f 1 (y) = y <strong>für</strong> alle y 2 W (f)<br />
Die Funktion y = f (x) sei streng monoton wachsend bzw. fallend auf D (f) :<br />
Dann existiert die Umkehrfunktion x = f 1 (y) auf D f 1 = W (f) und<br />
ist dort streng monoton wachsend bzw. fallend.<br />
Geometrische Interpretation: Spiegelung an Winkelhalbierender y = x.<br />
4.4 Grenzwerte von Funktionen<br />
Bsp.: f (x) = x 2 ; Annäherung an Stelle x0 = 2<br />
Wir wählen Folgen (xn) mit xn ! x0 (n ! 1)<br />
xn 1; 9 1; 99 1; 999 1; 9999 : : :<br />
f (xn) 3; 61 3; 9601 3; 996001 3; 99960001 : : :<br />
xn 2; 1 2; 01 2; 001 2; 0001 : : :<br />
f (xn) 4; 41 4; 0401 4; 004001 4; 00040001 : : :
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