Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 29 De…nition 4.2. (Intervalle) Für reelle Zahlen a und b heißen die Mengen [a; b] = f x j a x b g — — — — a [— — — — b ]— — — — (a; b) = f x j a < x < b g — — — — a (— — — — b )— — — — [a; b) = f x j a x < b g — — — — a [— — — — b )— — — — (a; b] = f x j a < x b g — — — — a (— — — — b ]— — — — endliche Intervalle. [a; b] heißt abgeschlossenes Intervall, (a; b) heißt o¤enes Intervall. Die Mengen ( 1; b] = f x j x b g — — — — — — — — — b ]— — — — ( 1; b) = f x j x < b g — — — — — — — — — b )— — — — [a; +1) = f x j x a g — — — — a [— — — — — — — — — (a; +1) = f x j x > a g — — — — a (— — — — — — — — — ( 1; +1) = R — — — — — — — — — — — — — — heißen unendliche Intervalle. De…nition 4.3. (Monotonie von Funktionen) Die Funktion f : M ! R heißt auf M für alle x1; x2 2 M mit x1 x2 monoton wachsend, falls f (x1) f (x2), streng monoton wachsend, falls f (x1) < f (x2), monoton fallend, falls f (x1) f (x2), streng monoton fallend, falls f (x1) > f (x2).
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 30 De…nition 4.4. (Beschränktheit von Funktionen) Eine Funktion f heißt nach oben bzw. nach unten beschränkt, wenn es eine Konstante K gibt, so dass f (x) K bzw. f (x) K für alle x 2 D (f) gilt. Eine Funktion f heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. De…nition 4.5. Eine Funktion f heißt 1. gerade Funktion, falls f ( x) = f (x) für alle x gilt, 2. ungerade Funktion, falls f ( x) = f (x) für alle x gilt. Bemerkung: Anschaulich bedeuten diese Eigenschaften für den Graphen der Funktion f 1. Achsensymmetrie zur y–Achse bzw. 2. Punktsymmetrie zum Ursprung De…nition 4.6. (Periodizität) Eine Funktion f heißt periodisch mit der Periode p, wenn f (x + p) = f (x) für alle x gilt. 4.2 Potenzfunktion, Exponentialfunktion und Logarithmus Potenzfunktion f (x) = x Exponentialfunktion f (x) = a x Logarithmus f (x) = log a x (Näheres siehe Vorlesung)
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 30<br />
De…nition 4.4. (Beschränktheit von Funktionen)<br />
Eine Funktion f heißt nach oben bzw. nach unten beschränkt, wenn es<br />
eine Konstante K gibt, so dass f (x) K bzw. f (x) K <strong>für</strong> alle x 2 D (f)<br />
gilt.<br />
Eine Funktion f heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt<br />
ist.<br />
De…nition 4.5.<br />
Eine Funktion f heißt<br />
1. gerade Funktion, falls f ( x) = f (x) <strong>für</strong> alle x gilt,<br />
2. ungerade Funktion, falls f ( x) = f (x) <strong>für</strong> alle x gilt.<br />
Bemerkung:<br />
Anschaulich bedeuten diese Eigenschaften <strong>für</strong> den Graphen der Funktion f<br />
1. Achsensymmetrie zur y–Achse bzw.<br />
2. Punktsymmetrie zum Ursprung<br />
De…nition 4.6. (Periodizität)<br />
Eine Funktion f heißt periodisch mit der Periode p, wenn f (x + p) =<br />
f (x) <strong>für</strong> alle x gilt.<br />
4.2 Potenzfunktion, Exponentialfunktion und Logarithmus<br />
Potenzfunktion f (x) = x<br />
Exponentialfunktion f (x) = a x<br />
Logarithmus f (x) = log a x<br />
(Näheres siehe Vorlesung)
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