Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 24
monoton fallend, falls an an+1 für alle n 2 N,
streng monoton fallend, falls an > an+1 für alle n 2 N.
De…nition 3.4. (Konvergenz von Folgen)
Die Folge (an) heißt konvergent zum Grenzwert a 2 R, wenn gilt:
Für alle " > 0 existiert ein n0 (") 2 N so, dass jan aj < " für alle
n n0 (") :
Bez.: lim
n!1 an = a oder an ! a (n ! 1)
Satz 3.5.
Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert.
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Satz 3.6.
Jede beschränkte und monotone Folge (an) konvergiert.
Bemerkung:
Satz 3.6 folgt aus dem Axiom über die Vollständigkeit von R.
Satz 3.7. (Rechenregeln für Grenzwerte)
Es gelte lim
n!1 an = a und lim
n!1 bn = b: Dann konvergieren die Folgen (an + bn) ;
(an bn) ; (an bn) ; (an bn) (letztere falls b 6= 0) mit
1. lim
n!1 (an + bn) = a + b;
2. lim
n!1 (an bn) = a b;
3. lim
n!1 (an bn) = a b;
4. lim
n!1 (an bn) = a b: